Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54490 / 50657
↖ ↑ ↗
← S 69.597805°
E119.322510°		 ← 212.93 m → S 69.597805°
E119.328003°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
S 69.599720°
E119.322510°		 ← 212.91 m →
45 334 m²		 S 69.599720°
E119.328003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831459045410156 y=0.772972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831459045410156 × 216)
    floor (0.831459045410156 × 65536)
    floor (54490.5)     		tx = 54490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772972106933594 × 216)
    floor (0.772972106933594 × 65536)
    floor (50657.5)     		ty = 50657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54490 / 50657 ti = "16/54490/50657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54490/50657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54490 ÷ 216
    54490 ÷ 65536     		x = 0.831451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50657 ÷ 216
    50657 ÷ 65536     		y = 0.772964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831451416015625 × 2 - 1) × π
    0.66290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08257067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.545928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71508639460637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08257067} λ = 2.08257067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71508639460637))-π/2
    2×atan(0.179948173489908)-π/2
    2×0.178042737748481-π/2
    0.356085475496961-1.57079632675     		φ = -1.21471085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08257067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21471085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.597805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54490 KachelY 50657 2.08257067 -1.21471085 119.322510 -69.597805
    Oben rechts KachelX + 1 54491 KachelY 50657 2.08266654 -1.21471085 119.328003 -69.597805
    Unten links KachelX 54490 KachelY + 1 50658 2.08257067 -1.21474427 119.322510 -69.599720
    Unten rechts KachelX + 1 54491 KachelY + 1 50658 2.08266654 -1.21474427 119.328003 -69.599720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21471085--1.21474427) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21471085--1.21474427) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08257067-2.08266654) × cos(-1.21471085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		do = 212.925474684672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08257067-2.08266654) × cos(-1.21474427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		du = 212.906342544189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21471085)-sin(-1.21474427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348607953765474-0.348576630053011)×R²
    abs(2.08266654-2.08257067)×3.13237124628385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13237124628385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13237124628385e-05×40589641000000     		ar = 45333.8040257858m²