Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54488 / 50293
↖ ↑ ↗
← S 68.889252°
E119.311523°		 ← 219.99 m → S 68.889252°
E119.317016°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 68.891231°
E119.311523°		 ← 219.97 m →
48 393 m²		 S 68.891231°
E119.317016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831428527832031 y=0.767417907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831428527832031 × 216)
    floor (0.831428527832031 × 65536)
    floor (54488.5)     		tx = 54488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767417907714844 × 216)
    floor (0.767417907714844 × 65536)
    floor (50293.5)     		ty = 50293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54488 / 50293 ti = "16/54488/50293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54488/50293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54488 ÷ 216
    54488 ÷ 65536     		x = 0.8314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50293 ÷ 216
    50293 ÷ 65536     		y = 0.767410278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8314208984375 × 2 - 1) × π
    0.662841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08237892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767410278320312 × 2 - 1) × π
    -0.534820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68018833168297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08237892} λ = 2.08237892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68018833168297))-π/2
    2×atan(0.186338879219866)-π/2
    2×0.184226028018447-π/2
    0.368452056036894-1.57079632675     		φ = -1.20234427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08237892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20234427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.889252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54488 KachelY 50293 2.08237892 -1.20234427 119.311523 -68.889252
    Oben rechts KachelX + 1 54489 KachelY 50293 2.08247479 -1.20234427 119.317016 -68.889252
    Unten links KachelX 54488 KachelY + 1 50294 2.08237892 -1.20237880 119.311523 -68.891231
    Unten rechts KachelX + 1 54489 KachelY + 1 50294 2.08247479 -1.20237880 119.317016 -68.891231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20234427--1.20237880) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20234427--1.20237880) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08237892-2.08247479) × cos(-1.20234427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360171809523369 × 6371000     		do = 219.988536355639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08237892-2.08247479) × cos(-1.20237880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360139596755471 × 6371000     		du = 219.968861190968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20234427)-sin(-1.20237880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360171809523369-0.360139596755471)×R²
    abs(2.08247479-2.08237892)×3.22127678982764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22127678982764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22127678982764e-05×40589641000000     		ar = 48393.2525345766m²