Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54486 / 12950
↖ ↑ ↗
← N 80.807242°
W 30.349731°		 ← 48.79 m → N 80.807242°
W 30.346985°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.806804°
W 30.349731°		 ← 48.80 m →
2 378 m²		 N 80.806804°
W 30.346985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415699005126953 y=0.0988044738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415699005126953 × 217)
    floor (0.415699005126953 × 131072)
    floor (54486.5)     		tx = 54486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988044738769531 × 217)
    floor (0.0988044738769531 × 131072)
    floor (12950.5)     		ty = 12950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54486 / 12950 ti = "17/54486/12950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54486/12950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54486 ÷ 217
    54486 ÷ 131072     		x = 0.415695190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12950 ÷ 217
    12950 ÷ 131072     		y = 0.0988006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415695190429688 × 2 - 1) × π
    -0.168609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52970274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988006591796875 × 2 - 1) × π
    0.802398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52080980342027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52970274} λ = -0.52970274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52080980342027))-π/2
    2×atan(12.4386654599875)-π/2
    2×1.49057438532944-π/2
    2.98114877065887-1.57079632675     		φ = 1.41035244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52970274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.349731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41035244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.807242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54486 KachelY 12950 -0.52970274 1.41035244 -30.349731 80.807242
    Oben rechts KachelX + 1 54487 KachelY 12950 -0.52965480 1.41035244 -30.346985 80.807242
    Unten links KachelX 54486 KachelY + 1 12951 -0.52970274 1.41034479 -30.349731 80.806804
    Unten rechts KachelX + 1 54487 KachelY + 1 12951 -0.52965480 1.41034479 -30.346985 80.806804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41035244-1.41034479) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dl = 48.738150000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41035244-1.41034479) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dr = 48.738150000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52970274--0.52965480) × cos(1.41035244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159756408058837 × 6371000     		do = 48.7937191510804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52970274--0.52965480) × cos(1.41034479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159763959801134 × 6371000     		du = 48.7960256475597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41035244)-sin(1.41034479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159756408058837-0.159763959801134)×R²
    abs(-0.52965480--0.52970274)×7.55174229694067e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55174229694067e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55174229694067e-06×40589641000000     		ar = 2378.17181029792m²