Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54484 / 50607
↖ ↑ ↗
← S 69.501841°
E119.289551°		 ← 213.91 m → S 69.501841°
E119.295044°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 69.503765°
E119.289551°		 ← 213.89 m →
45 761 m²		 S 69.503765°
E119.295044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831367492675781 y=0.772209167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831367492675781 × 216)
    floor (0.831367492675781 × 65536)
    floor (54484.5)     		tx = 54484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772209167480469 × 216)
    floor (0.772209167480469 × 65536)
    floor (50607.5)     		ty = 50607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54484 / 50607 ti = "16/54484/50607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54484/50607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54484 ÷ 216
    54484 ÷ 65536     		x = 0.83135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50607 ÷ 216
    50607 ÷ 65536     		y = 0.772201538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83135986328125 × 2 - 1) × π
    0.6627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08199542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772201538085938 × 2 - 1) × π
    -0.544403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71029270464436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08199542} λ = 2.08199542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71029270464436))-π/2
    2×atan(0.18081286010679)-π/2
    2×0.178880176466618-π/2
    0.357760352933237-1.57079632675     		φ = -1.21303597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08199542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21303597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.501841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54484 KachelY 50607 2.08199542 -1.21303597 119.289551 -69.501841
    Oben rechts KachelX + 1 54485 KachelY 50607 2.08209130 -1.21303597 119.295044 -69.501841
    Unten links KachelX 54484 KachelY + 1 50608 2.08199542 -1.21306955 119.289551 -69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 54485 KachelY + 1 50608 2.08209130 -1.21306955 119.295044 -69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21303597--1.21306955) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21303597--1.21306955) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08199542-2.08209130) × cos(-1.21303597) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350177276561876 × 6371000     		do = 213.906307650051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08199542-2.08209130) × cos(-1.21306955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 213.887093910807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21303597)-sin(-1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350177276561876-0.350145822534387)×R²
    abs(2.08209130-2.08199542)×3.14540274892749e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14540274892749e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14540274892749e-05×40589641000000     		ar = 45760.6708772178m²