Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54481 / 50610
↖ ↑ ↗
← S 69.507612°
E119.273071°		 ← 213.85 m → S 69.507612°
E119.278565°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 69.509535°
E119.273071°		 ← 213.83 m →
45 721 m²		 S 69.509535°
E119.278565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831321716308594 y=0.772254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831321716308594 × 216)
    floor (0.831321716308594 × 65536)
    floor (54481.5)     		tx = 54481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772254943847656 × 216)
    floor (0.772254943847656 × 65536)
    floor (50610.5)     		ty = 50610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54481 / 50610 ti = "16/54481/50610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54481/50610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54481 ÷ 216
    54481 ÷ 65536     		x = 0.831314086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50610 ÷ 216
    50610 ÷ 65536     		y = 0.772247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831314086914062 × 2 - 1) × π
    0.662628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08170780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08170780} λ = 2.08170780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71058032604208))-π/2
    2×atan(0.180760861937492)-π/2
    2×0.178829824011393-π/2
    0.357659648022787-1.57079632675     		φ = -1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08170780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.273071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54481 KachelY 50610 2.08170780 -1.21313668 119.273071 -69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 54482 KachelY 50610 2.08180368 -1.21313668 119.278565 -69.507612
    Unten links KachelX 54481 KachelY + 1 50611 2.08170780 -1.21317024 119.273071 -69.509535
    Unten rechts KachelX + 1 54482 KachelY + 1 50611 2.08180368 -1.21317024 119.278565 -69.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21313668--1.21317024) × R
    3.3559999999877e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21313668--1.21317024) × R
    3.3559999999877e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08170780-2.08180368) × cos(-1.21313668) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 213.848682874674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08170780-2.08180368) × cos(-1.21317024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350051504919603 × 6371000     		du = 213.829479856226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21313668)-sin(-1.21317024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350051504919603)×R²
    abs(2.08180368-2.08170780)×3.14364769114506e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14364769114506e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14364769114506e-05×40589641000000     		ar = 45721.0965085825m²