Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54480 / 50606
↖ ↑ ↗
← S 69.499918°
E119.267578°		 ← 213.90 m → S 69.499918°
E119.273071°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 69.501841°
E119.267578°		 ← 213.88 m →
45 746 m²		 S 69.501841°
E119.273071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831306457519531 y=0.772193908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831306457519531 × 216)
    floor (0.831306457519531 × 65536)
    floor (54480.5)     		tx = 54480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772193908691406 × 216)
    floor (0.772193908691406 × 65536)
    floor (50606.5)     		ty = 50606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54480 / 50606 ti = "16/54480/50606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54480/50606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54480 ÷ 216
    54480 ÷ 65536     		x = 0.831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50606 ÷ 216
    50606 ÷ 65536     		y = 0.772186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831298828125 × 2 - 1) × π
    0.66259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08161193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.54437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71019683084512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08161193} λ = 2.08161193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71019683084512))-π/2
    2×atan(0.180830196153663)-π/2
    2×0.178896963633159-π/2
    0.357793927266317-1.57079632675     		φ = -1.21300240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08161193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21300240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.499918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54480 KachelY 50606 2.08161193 -1.21300240 119.267578 -69.499918
    Oben rechts KachelX + 1 54481 KachelY 50606 2.08170780 -1.21300240 119.273071 -69.499918
    Unten links KachelX 54480 KachelY + 1 50607 2.08161193 -1.21303597 119.267578 -69.501841
    Unten rechts KachelX + 1 54481 KachelY + 1 50607 2.08170780 -1.21303597 119.273071 -69.501841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21300240--1.21303597) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21300240--1.21303597) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08161193-2.08170780) × cos(-1.21300240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350208720827783 × 6371000     		do = 213.903203628949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08161193-2.08170780) × cos(-1.21303597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350177276561876 × 6371000     		du = 213.883997855897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21300240)-sin(-1.21303597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350208720827783-0.350177276561876)×R²
    abs(2.08170780-2.08161193)×3.14442659067882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14442659067882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14442659067882e-05×40589641000000     		ar = 45746.3804995079m²