Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54480 / 15248
↖ ↑ ↗
← N 79.742109°
W 30.366211°		 ← 54.38 m → N 79.742109°
W 30.363465°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.741620°
W 30.366211°		 ← 54.38 m →
2 959 m²		 N 79.741620°
W 30.363465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415653228759766 y=0.116336822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415653228759766 × 217)
    floor (0.415653228759766 × 131072)
    floor (54480.5)     		tx = 54480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116336822509766 × 217)
    floor (0.116336822509766 × 131072)
    floor (15248.5)     		ty = 15248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54480 / 15248 ti = "17/54480/15248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54480/15248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54480 ÷ 217
    54480 ÷ 131072     		x = 0.4156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15248 ÷ 217
    15248 ÷ 131072     		y = 0.1163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1163330078125 × 2 - 1) × π
    0.767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41065080809338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52999036} λ = -0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41065080809338))-π/2
    2×atan(11.1412095755027)-π/2
    2×1.48127934316635-π/2
    2.96255868633269-1.57079632675     		φ = 1.39176236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39176236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.742109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54480 KachelY 15248 -0.52999036 1.39176236 -30.366211 79.742109
    Oben rechts KachelX + 1 54481 KachelY 15248 -0.52994243 1.39176236 -30.363465 79.742109
    Unten links KachelX 54480 KachelY + 1 15249 -0.52999036 1.39175382 -30.366211 79.741620
    Unten rechts KachelX + 1 54481 KachelY + 1 15249 -0.52994243 1.39175382 -30.363465 79.741620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39176236-1.39175382) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39176236-1.39175382) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52999036--0.52994243) × cos(1.39176236) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178079064360789 × 6371000     		do = 54.3785845937444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52999036--0.52994243) × cos(1.39175382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178087467852491 × 6371000     		du = 54.3811507010297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39176236)-sin(1.39175382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178079064360789-0.178087467852491)×R²
    abs(-0.52994243--0.52999036)×8.40349170216914e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.40349170216914e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.40349170216914e-06×40589641000000     		ar = 2958.71832824155m²