Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54479 / 14991
↖ ↑ ↗
← N 79.867051°
W 30.368958°		 ← 53.73 m → N 79.867051°
W 30.366211°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.866568°
W 30.368958°		 ← 53.74 m →
2 889 m²		 N 79.866568°
W 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415645599365234 y=0.114376068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415645599365234 × 217)
    floor (0.415645599365234 × 131072)
    floor (54479.5)     		tx = 54479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114376068115234 × 217)
    floor (0.114376068115234 × 131072)
    floor (14991.5)     		ty = 14991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54479 / 14991 ti = "17/54479/14991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54479/14991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54479 ÷ 217
    54479 ÷ 131072     		x = 0.415641784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14991 ÷ 217
    14991 ÷ 131072     		y = 0.114372253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415641784667969 × 2 - 1) × π
    -0.168716430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.53003830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114372253417969 × 2 - 1) × π
    0.771255493164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.42297059129574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53003830} λ = -0.53003830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42297059129574))-π/2
    2×atan(11.2793158348965)-π/2
    2×1.48236966774746-π/2
    2.96473933549492-1.57079632675     		φ = 1.39394301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53003830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.368958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39394301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.867051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54479 KachelY 14991 -0.53003830 1.39394301 -30.368958 79.867051
    Oben rechts KachelX + 1 54480 KachelY 14991 -0.52999036 1.39394301 -30.366211 79.867051
    Unten links KachelX 54479 KachelY + 1 14992 -0.53003830 1.39393457 -30.368958 79.866568
    Unten rechts KachelX + 1 54480 KachelY + 1 14992 -0.52999036 1.39393457 -30.366211 79.866568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39394301-1.39393457) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39394301-1.39393457) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53003830--0.52999036) × cos(1.39394301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175932847770014 × 6371000     		do = 53.7344202204287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53003830--0.52999036) × cos(1.39393457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175941156118066 × 6371000     		du = 53.7369578037806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39394301)-sin(1.39393457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175932847770014-0.175941156118066)×R²
    abs(-0.52999036--0.53003830)×8.30834805184977e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.30834805184977e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.30834805184977e-06×40589641000000     		ar = 2889.43463048663m²