Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54479 / 13242
↖ ↑ ↗
← N 80.678228°
W 30.368958°		 ← 49.47 m → N 80.678228°
W 30.366211°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.677784°
W 30.368958°		 ← 49.47 m →
2 446 m²		 N 80.677784°
W 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415645599365234 y=0.101032257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415645599365234 × 217)
    floor (0.415645599365234 × 131072)
    floor (54479.5)     		tx = 54479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101032257080078 × 217)
    floor (0.101032257080078 × 131072)
    floor (13242.5)     		ty = 13242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54479 / 13242 ti = "17/54479/13242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54479/13242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54479 ÷ 217
    54479 ÷ 131072     		x = 0.415641784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13242 ÷ 217
    13242 ÷ 131072     		y = 0.101028442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415641784667969 × 2 - 1) × π
    -0.168716430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.53003830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101028442382812 × 2 - 1) × π
    0.797943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50681222873122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53003830} λ = -0.53003830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50681222873122))-π/2
    2×atan(12.2657672122644)-π/2
    2×1.48944852462728-π/2
    2.97889704925456-1.57079632675     		φ = 1.40810072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53003830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.368958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40810072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.678228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54479 KachelY 13242 -0.53003830 1.40810072 -30.368958 80.678228
    Oben rechts KachelX + 1 54480 KachelY 13242 -0.52999036 1.40810072 -30.366211 80.678228
    Unten links KachelX 54479 KachelY + 1 13243 -0.53003830 1.40809296 -30.368958 80.677784
    Unten rechts KachelX + 1 54480 KachelY + 1 13243 -0.52999036 1.40809296 -30.366211 80.677784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40810072-1.40809296) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40810072-1.40809296) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53003830--0.52999036) × cos(1.40810072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161978801138333 × 6371000     		do = 49.4724952019558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53003830--0.52999036) × cos(1.40809296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161986458656742 × 6371000     		du = 49.4748340051824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40810072)-sin(1.40809296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161978801138333-0.161986458656742)×R²
    abs(-0.52999036--0.53003830)×7.65751840905993e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65751840905993e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65751840905993e-06×40589641000000     		ar = 2445.92652522463m²