Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54476 / 15300
↖ ↑ ↗
← N 79.716644°
W 30.377197°		 ← 54.52 m → N 79.716644°
W 30.374451°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.716154°
W 30.377197°		 ← 54.53 m →
2 970 m²		 N 79.716154°
W 30.374451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415622711181641 y=0.116733551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415622711181641 × 217)
    floor (0.415622711181641 × 131072)
    floor (54476.5)     		tx = 54476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116733551025391 × 217)
    floor (0.116733551025391 × 131072)
    floor (15300.5)     		ty = 15300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54476 / 15300 ti = "17/54476/15300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54476/15300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54476 ÷ 217
    54476 ÷ 131072     		x = 0.415618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15300 ÷ 217
    15300 ÷ 131072     		y = 0.116729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.16876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53018211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116729736328125 × 2 - 1) × π
    0.76654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40815808931314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53018211} λ = -0.53018211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40815808931314))-π/2
    2×atan(11.1134722581876)-π/2
    2×1.48105712022784-π/2
    2.96211424045567-1.57079632675     		φ = 1.39131791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53018211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.377197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39131791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.716644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54476 KachelY 15300 -0.53018211 1.39131791 -30.377197 79.716644
    Oben rechts KachelX + 1 54477 KachelY 15300 -0.53013417 1.39131791 -30.374451 79.716644
    Unten links KachelX 54476 KachelY + 1 15301 -0.53018211 1.39130936 -30.377197 79.716154
    Unten rechts KachelX + 1 54477 KachelY + 1 15301 -0.53013417 1.39130936 -30.374451 79.716154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39131791-1.39130936) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39131791-1.39130936) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53018211--0.53013417) × cos(1.39131791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178516392750075 × 6371000     		do = 54.5235013579128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53018211--0.53013417) × cos(1.39130936) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178524805404368 × 6371000     		du = 54.5260707990756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39131791)-sin(1.39130936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178516392750075-0.178524805404368)×R²
    abs(-0.53013417--0.53018211)×8.41265429285531e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.41265429285531e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.41265429285531e-06×40589641000000     		ar = 2970.07687338942m²