Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54475 / 13231
↖ ↑ ↗
← N 80.683121°
W 30.379944°		 ← 49.45 m → N 80.683121°
W 30.377197°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.682676°
W 30.379944°		 ← 49.45 m →
2 445 m²		 N 80.682676°
W 30.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415615081787109 y=0.100948333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415615081787109 × 217)
    floor (0.415615081787109 × 131072)
    floor (54475.5)     		tx = 54475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100948333740234 × 217)
    floor (0.100948333740234 × 131072)
    floor (13231.5)     		ty = 13231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54475 / 13231 ti = "17/54475/13231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54475/13231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54475 ÷ 217
    54475 ÷ 131072     		x = 0.415611267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13231 ÷ 217
    13231 ÷ 131072     		y = 0.100944519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415611267089844 × 2 - 1) × π
    -0.168777465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.53023005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100944519042969 × 2 - 1) × π
    0.798110961914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.50733953462704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53023005} λ = -0.53023005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50733953462704))-π/2
    2×atan(12.2722367291895)-π/2
    2×1.48949121970601-π/2
    2.97898243941203-1.57079632675     		φ = 1.40818611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53023005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.379944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40818611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.683121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54475 KachelY 13231 -0.53023005 1.40818611 -30.379944 80.683121
    Oben rechts KachelX + 1 54476 KachelY 13231 -0.53018211 1.40818611 -30.377197 80.683121
    Unten links KachelX 54475 KachelY + 1 13232 -0.53023005 1.40817835 -30.379944 80.682676
    Unten rechts KachelX + 1 54476 KachelY + 1 13232 -0.53018211 1.40817835 -30.377197 80.682676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40818611-1.40817835) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40818611-1.40817835) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53023005--0.53018211) × cos(1.40818611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16189453818793 × 6371000     		do = 49.4467591279742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53023005--0.53018211) × cos(1.40817835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161902195813645 × 6371000     		du = 49.4490979639749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40818611)-sin(1.40817835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16189453818793-0.161902195813645)×R²
    abs(-0.53018211--0.53023005)×7.65762571514061e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65762571514061e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65762571514061e-06×40589641000000     		ar = 2444.65416133685m²