Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54474 / 50614
↖ ↑ ↗
← S 69.515303°
E119.234619°		 ← 213.75 m → S 69.515303°
E119.240112°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 69.517225°
E119.234619°		 ← 213.73 m →
45 686 m²		 S 69.517225°
E119.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831214904785156 y=0.772315979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831214904785156 × 216)
    floor (0.831214904785156 × 65536)
    floor (54474.5)     		tx = 54474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772315979003906 × 216)
    floor (0.772315979003906 × 65536)
    floor (50614.5)     		ty = 50614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54474 / 50614 ti = "16/54474/50614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54474/50614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54474 ÷ 216
    54474 ÷ 65536     		x = 0.831207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50614 ÷ 216
    50614 ÷ 65536     		y = 0.772308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831207275390625 × 2 - 1) × π
    0.66241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08103669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.54461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71096382123904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08103669} λ = 2.08103669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71096382123904))-π/2
    2×atan(0.180691554305562)-π/2
    2×0.17876270850367-π/2
    0.35752541700734-1.57079632675     		φ = -1.21327091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08103669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.234619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21327091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.515303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54474 KachelY 50614 2.08103669 -1.21327091 119.234619 -69.515303
    Oben rechts KachelX + 1 54475 KachelY 50614 2.08113256 -1.21327091 119.240112 -69.515303
    Unten links KachelX 54474 KachelY + 1 50615 2.08103669 -1.21330446 119.234619 -69.517225
    Unten rechts KachelX + 1 54475 KachelY + 1 50615 2.08113256 -1.21330446 119.240112 -69.517225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21327091--1.21330446) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dl = 213.747049999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21327091--1.21330446) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dr = 213.747049999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08103669-2.08113256) × cos(-1.21327091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349957202491144 × 6371000     		do = 213.749579305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08103669-2.08113256) × cos(-1.21330446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349925773805322 × 6371000     		du = 213.730383048072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21327091)-sin(-1.21330446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349957202491144-0.349925773805322)×R²
    abs(2.08113256-2.08103669)×3.14286858223989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14286858223989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14286858223989e-05×40589641000000     		ar = 45686.2904476464m²