Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54471 / 87223
↖ ↑ ↗
← S 51.053481°
W 30.390930°		 ← 191.95 m → S 51.053481°
W 30.388184°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
S 51.055207°
W 30.390930°		 ← 191.94 m →
36 845 m²		 S 51.055207°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415584564208984 y=0.665462493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415584564208984 × 217)
    floor (0.415584564208984 × 131072)
    floor (54471.5)     		tx = 54471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665462493896484 × 217)
    floor (0.665462493896484 × 131072)
    floor (87223.5)     		ty = 87223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54471 / 87223 ti = "17/54471/87223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54471/87223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54471 ÷ 217
    54471 ÷ 131072     		x = 0.415580749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87223 ÷ 217
    87223 ÷ 131072     		y = 0.665458679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415580749511719 × 2 - 1) × π
    -0.168838500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.53042179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665458679199219 × 2 - 1) × π
    -0.330917358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03960754206016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53042179} λ = -0.53042179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03960754206016))-π/2
    2×atan(0.353593425278767)-π/2
    2×0.339872495393481-π/2
    0.679744990786962-1.57079632675     		φ = -0.89105134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53042179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.390930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89105134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.053481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54471 KachelY 87223 -0.53042179 -0.89105134 -30.390930 -51.053481
    Oben rechts KachelX + 1 54472 KachelY 87223 -0.53037386 -0.89105134 -30.388184 -51.053481
    Unten links KachelX 54471 KachelY + 1 87224 -0.53042179 -0.89108147 -30.390930 -51.055207
    Unten rechts KachelX + 1 54472 KachelY + 1 87224 -0.53037386 -0.89108147 -30.388184 -51.055207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89105134--0.89108147) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dl = 191.958230000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89105134--0.89108147) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dr = 191.958230000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53042179--0.53037386) × cos(-0.89105134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628594712263658 × 6371000     		do = 191.948957384214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53042179--0.53037386) × cos(-0.89108147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628571278881721 × 6371000     		du = 191.941801719136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89105134)-sin(-0.89108147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628594712263658-0.628571278881721)×R²
    abs(-0.53037386--0.53042179)×2.3433381936333e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3433381936333e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3433381936333e-05×40589641000000     		ar = 36845.4953181046m²