Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54471 / 50632
↖ ↑ ↗
← S 69.549877°
E119.218139°		 ← 213.43 m → S 69.549877°
E119.223633°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 69.551797°
E119.218139°		 ← 213.41 m →
45 549 m²		 S 69.551797°
E119.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831169128417969 y=0.772590637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831169128417969 × 216)
    floor (0.831169128417969 × 65536)
    floor (54471.5)     		tx = 54471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772590637207031 × 216)
    floor (0.772590637207031 × 65536)
    floor (50632.5)     		ty = 50632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54471 / 50632 ti = "16/54471/50632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54471/50632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54471 ÷ 216
    54471 ÷ 65536     		x = 0.831161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50632 ÷ 216
    50632 ÷ 65536     		y = 0.7725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831161499023438 × 2 - 1) × π
    0.662322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08074906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08074906} λ = 2.08074906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71268954962537))-π/2
    2×atan(0.180379998668653)-π/2
    2×0.178460986930395-π/2
    0.356921973860791-1.57079632675     		φ = -1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08074906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.218139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54471 KachelY 50632 2.08074906 -1.21387435 119.218139 -69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 54472 KachelY 50632 2.08084494 -1.21387435 119.223633 -69.549877
    Unten links KachelX 54471 KachelY + 1 50633 2.08074906 -1.21390785 119.218139 -69.551797
    Unten rechts KachelX + 1 54472 KachelY + 1 50633 2.08084494 -1.21390785 119.223633 -69.551797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21387435--1.21390785) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21387435--1.21390785) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08074906-2.08084494) × cos(-1.21387435) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 213.426532900182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08074906-2.08084494) × cos(-1.21390785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349360468005907 × 6371000     		du = 213.407358934761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21387435)-sin(-1.21390785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349360468005907)×R²
    abs(2.08084494-2.08074906)×3.13889153889524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13889153889524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13889153889524e-05×40589641000000     		ar = 45549.2586462514m²