Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54469 / 14787
↖ ↑ ↗
← N 79.965154°
W 30.396423°		 ← 53.22 m → N 79.965154°
W 30.393677°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.964675°
W 30.396423°		 ← 53.22 m →
2 831 m²		 N 79.964675°
W 30.393677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415569305419922 y=0.112819671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415569305419922 × 217)
    floor (0.415569305419922 × 131072)
    floor (54469.5)     		tx = 54469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112819671630859 × 217)
    floor (0.112819671630859 × 131072)
    floor (14787.5)     		ty = 14787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54469 / 14787 ti = "17/54469/14787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54469/14787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54469 ÷ 217
    54469 ÷ 131072     		x = 0.415565490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14787 ÷ 217
    14787 ÷ 131072     		y = 0.112815856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415565490722656 × 2 - 1) × π
    -0.168869018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.53051767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112815856933594 × 2 - 1) × π
    0.774368286132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43274971881823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53051767} λ = -0.53051767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43274971881823))-π/2
    2×atan(11.3901587931875)-π/2
    2×1.48322577489974-π/2
    2.96645154979948-1.57079632675     		φ = 1.39565522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53051767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.396423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39565522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.965154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54469 KachelY 14787 -0.53051767 1.39565522 -30.396423 79.965154
    Oben rechts KachelX + 1 54470 KachelY 14787 -0.53046973 1.39565522 -30.393677 79.965154
    Unten links KachelX 54469 KachelY + 1 14788 -0.53051767 1.39564687 -30.396423 79.964675
    Unten rechts KachelX + 1 54470 KachelY + 1 14788 -0.53046973 1.39564687 -30.393677 79.964675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39565522-1.39564687) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39565522-1.39564687) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53051767--0.53046973) × cos(1.39565522) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174247087465545 × 6371000     		do = 53.219545632097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53051767--0.53046973) × cos(1.39564687) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174255309720847 × 6371000     		du = 53.2220569205071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39565522)-sin(1.39564687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174247087465545-0.174255309720847)×R²
    abs(-0.53046973--0.53051767)×8.22225530205944e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.22225530205944e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.22225530205944e-06×40589641000000     		ar = 2831.2322031791m²