Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54468 / 50621
↖ ↑ ↗
← S 69.528755°
E119.201660°		 ← 213.64 m → S 69.528755°
E119.207153°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
S 69.530676°
E119.201660°		 ← 213.62 m →
45 635 m²		 S 69.530676°
E119.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831123352050781 y=0.772422790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831123352050781 × 216)
    floor (0.831123352050781 × 65536)
    floor (54468.5)     		tx = 54468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772422790527344 × 216)
    floor (0.772422790527344 × 65536)
    floor (50621.5)     		ty = 50621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54468 / 50621 ti = "16/54468/50621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54468/50621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54468 ÷ 216
    54468 ÷ 65536     		x = 0.83111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50621 ÷ 216
    50621 ÷ 65536     		y = 0.772415161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83111572265625 × 2 - 1) × π
    0.6622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08046144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772415161132812 × 2 - 1) × π
    -0.544830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71163493783373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08046144} λ = 2.08046144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71163493783373))-π/2
    2×atan(0.180570329887358)-π/2
    2×0.178645314367153-π/2
    0.357290628734306-1.57079632675     		φ = -1.21350570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08046144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21350570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.528755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54468 KachelY 50621 2.08046144 -1.21350570 119.201660 -69.528755
    Oben rechts KachelX + 1 54469 KachelY 50621 2.08055732 -1.21350570 119.207153 -69.528755
    Unten links KachelX 54468 KachelY + 1 50622 2.08046144 -1.21353923 119.201660 -69.530676
    Unten rechts KachelX + 1 54469 KachelY + 1 50622 2.08055732 -1.21353923 119.207153 -69.530676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21350570--1.21353923) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dl = 213.619630000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21350570--1.21353923) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dr = 213.619630000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08046144-2.08055732) × cos(-1.21350570) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349737249631072 × 6371000     		do = 213.63751654813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08046144-2.08055732) × cos(-1.21353923) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349705836926746 × 6371000     		du = 213.618328051201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21350570)-sin(-1.21353923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349737249631072-0.349705836926746)×R²
    abs(2.08055732-2.08046144)×3.14127043256618e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14127043256618e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14127043256618e-05×40589641000000     		ar = 45635.1177239293m²