Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54468 / 15293
↖ ↑ ↗
← N 79.720076°
W 30.399170°		 ← 54.49 m → N 79.720076°
W 30.396423°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
N 79.719586°
W 30.399170°		 ← 54.50 m →
2 972 m²		 N 79.719586°
W 30.396423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415561676025391 y=0.116680145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415561676025391 × 217)
    floor (0.415561676025391 × 131072)
    floor (54468.5)     		tx = 54468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116680145263672 × 217)
    floor (0.116680145263672 × 131072)
    floor (15293.5)     		ty = 15293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54468 / 15293 ti = "17/54468/15293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54468/15293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54468 ÷ 217
    54468 ÷ 131072     		x = 0.415557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15293 ÷ 217
    15293 ÷ 131072     		y = 0.116676330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116676330566406 × 2 - 1) × π
    0.766647338867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.40849364761048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53056560} λ = -0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40849364761048))-π/2
    2×atan(11.1172021017711)-π/2
    2×1.48108706661167-π/2
    2.96217413322334-1.57079632675     		φ = 1.39137781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39137781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.720076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54468 KachelY 15293 -0.53056560 1.39137781 -30.399170 79.720076
    Oben rechts KachelX + 1 54469 KachelY 15293 -0.53051767 1.39137781 -30.396423 79.720076
    Unten links KachelX 54468 KachelY + 1 15294 -0.53056560 1.39136925 -30.399170 79.719586
    Unten rechts KachelX + 1 54469 KachelY + 1 15294 -0.53051767 1.39136925 -30.396423 79.719586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39137781-1.39136925) × R
    8.56000000015733e-06 × 6371000     		dl = 54.5357600010024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39137781-1.39136925) × R
    8.56000000015733e-06 × 6371000     		dr = 54.5357600010024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53056560--0.53051767) × cos(1.39137781) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.178457454607278 × 6371000     		do = 54.4941306074184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53056560--0.53051767) × cos(1.39136925) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.178465877192446 × 6371000     		du = 54.496702545123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39137781)-sin(1.39136925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178457454607278-0.178465877192446)×R²
    abs(-0.53051767--0.53056560)×8.42258516739469e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.42258516739469e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.42258516739469e-06×40589641000000     		ar = 2971.94895953879m²