Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54468 / 13268
↖ ↑ ↗
← N 80.666654°
W 30.399170°		 ← 49.52 m → N 80.666654°
W 30.396423°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.666209°
W 30.399170°		 ← 49.53 m →
2 452 m²		 N 80.666209°
W 30.396423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415561676025391 y=0.101230621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415561676025391 × 217)
    floor (0.415561676025391 × 131072)
    floor (54468.5)     		tx = 54468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101230621337891 × 217)
    floor (0.101230621337891 × 131072)
    floor (13268.5)     		ty = 13268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54468 / 13268 ti = "17/54468/13268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54468/13268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54468 ÷ 217
    54468 ÷ 131072     		x = 0.415557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13268 ÷ 217
    13268 ÷ 131072     		y = 0.101226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101226806640625 × 2 - 1) × π
    0.79754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50556586934109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53056560} λ = -0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50556586934109))-π/2
    2×atan(12.2504891810589)-π/2
    2×1.48934752062989-π/2
    2.97869504125978-1.57079632675     		φ = 1.40789871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40789871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.666654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54468 KachelY 13268 -0.53056560 1.40789871 -30.399170 80.666654
    Oben rechts KachelX + 1 54469 KachelY 13268 -0.53051767 1.40789871 -30.396423 80.666654
    Unten links KachelX 54468 KachelY + 1 13269 -0.53056560 1.40789094 -30.399170 80.666209
    Unten rechts KachelX + 1 54469 KachelY + 1 13269 -0.53051767 1.40789094 -30.396423 80.666209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40789871-1.40789094) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40789871-1.40789094) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53056560--0.53051767) × cos(1.40789871) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.16217814013596 × 6371000     		do = 49.5230460934567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53056560--0.53051767) × cos(1.40789094) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.162185807267892 × 6371000     		du = 49.5253873444277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40789871)-sin(1.40789094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16217814013596-0.162185807267892)×R²
    abs(-0.53051767--0.53056560)×7.66713193178781e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.66713193178781e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.66713193178781e-06×40589641000000     		ar = 2451.58095720927m²