Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54467 / 15294
↖ ↑ ↗
← N 79.719586°
W 30.401916°		 ← 54.51 m → N 79.719586°
W 30.399170°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.719096°
W 30.401916°		 ← 54.51 m →
2 969 m²		 N 79.719096°
W 30.399170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415554046630859 y=0.116687774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415554046630859 × 217)
    floor (0.415554046630859 × 131072)
    floor (54467.5)     		tx = 54467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116687774658203 × 217)
    floor (0.116687774658203 × 131072)
    floor (15294.5)     		ty = 15294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54467 / 15294 ti = "17/54467/15294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54467/15294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54467 ÷ 217
    54467 ÷ 131072     		x = 0.415550231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15294 ÷ 217
    15294 ÷ 131072     		y = 0.116683959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415550231933594 × 2 - 1) × π
    -0.168899536132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.53061354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116683959960938 × 2 - 1) × π
    0.766632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40844571071086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53061354} λ = -0.53061354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40844571071086))-π/2
    2×atan(11.116669190343)-π/2
    2×1.48108278916216-π/2
    2.96216557832433-1.57079632675     		φ = 1.39136925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53061354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.401916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39136925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.719586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54467 KachelY 15294 -0.53061354 1.39136925 -30.401916 79.719586
    Oben rechts KachelX + 1 54468 KachelY 15294 -0.53056560 1.39136925 -30.399170 79.719586
    Unten links KachelX 54467 KachelY + 1 15295 -0.53061354 1.39136070 -30.401916 79.719096
    Unten rechts KachelX + 1 54468 KachelY + 1 15295 -0.53056560 1.39136070 -30.399170 79.719096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39136925-1.39136070) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39136925-1.39136070) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53061354--0.53056560) × cos(1.39136925) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178465877192446 × 6371000     		do = 54.5080726063423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53061354--0.53056560) × cos(1.39136070) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.17847428992509 × 6371000     		du = 54.5106420714357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39136925)-sin(1.39136070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178465877192446-0.17847428992509)×R²
    abs(-0.53056560--0.53061354)×8.41273264468034e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.41273264468034e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.41273264468034e-06×40589641000000     		ar = 2969.23643843485m²