Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54465 / 13253
↖ ↑ ↗
← N 80.673334°
W 30.407410°		 ← 49.50 m → N 80.673334°
W 30.404663°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.672888°
W 30.407410°		 ← 49.50 m →
2 450 m²		 N 80.672888°
W 30.404663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415538787841797 y=0.101116180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415538787841797 × 217)
    floor (0.415538787841797 × 131072)
    floor (54465.5)     		tx = 54465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101116180419922 × 217)
    floor (0.101116180419922 × 131072)
    floor (13253.5)     		ty = 13253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54465 / 13253 ti = "17/54465/13253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54465/13253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54465 ÷ 217
    54465 ÷ 131072     		x = 0.415534973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13253 ÷ 217
    13253 ÷ 131072     		y = 0.101112365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415534973144531 × 2 - 1) × π
    -0.168930053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53070942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101112365722656 × 2 - 1) × π
    0.797775268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.5062849228354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53070942} λ = -0.53070942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5062849228354))-π/2
    2×atan(12.2593011058544)-π/2
    2×1.48940580732671-π/2
    2.97881161465341-1.57079632675     		φ = 1.40801529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53070942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.407410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40801529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.673334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54465 KachelY 13253 -0.53070942 1.40801529 -30.407410 80.673334
    Oben rechts KachelX + 1 54466 KachelY 13253 -0.53066148 1.40801529 -30.404663 80.673334
    Unten links KachelX 54465 KachelY + 1 13254 -0.53070942 1.40800752 -30.407410 80.672888
    Unten rechts KachelX + 1 54466 KachelY + 1 13254 -0.53066148 1.40800752 -30.404663 80.672888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40801529-1.40800752) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40801529-1.40800752) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53070942--0.53066148) × cos(1.40801529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162063102378892 × 6371000     		do = 49.4982429707363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53070942--0.53066148) × cos(1.40800752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16207076965768 × 6371000     		du = 49.5005847550341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40801529)-sin(1.40800752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162063102378892-0.16207076965768)×R²
    abs(-0.53066148--0.53070942)×7.66727878839801e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66727878839801e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66727878839801e-06×40589641000000     		ar = 2450.35314965811m²