Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54465 / 13021
↖ ↑ ↗
← N 80.776037°
W 30.407410°		 ← 48.96 m → N 80.776037°
W 30.404663°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.775596°
W 30.407410°		 ← 48.96 m →
2 399 m²		 N 80.775596°
W 30.404663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415538787841797 y=0.0993461608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415538787841797 × 217)
    floor (0.415538787841797 × 131072)
    floor (54465.5)     		tx = 54465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993461608886719 × 217)
    floor (0.0993461608886719 × 131072)
    floor (13021.5)     		ty = 13021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54465 / 13021 ti = "17/54465/13021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54465/13021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54465 ÷ 217
    54465 ÷ 131072     		x = 0.415534973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13021 ÷ 217
    13021 ÷ 131072     		y = 0.0993423461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415534973144531 × 2 - 1) × π
    -0.168930053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53070942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0993423461914062 × 2 - 1) × π
    0.801315307617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.51740628354725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53070942} λ = -0.53070942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51740628354725))-π/2
    2×atan(12.3964021776592)-π/2
    2×1.49030206107227-π/2
    2.98060412214454-1.57079632675     		φ = 1.40980780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53070942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.407410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40980780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.776037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54465 KachelY 13021 -0.53070942 1.40980780 -30.407410 80.776037
    Oben rechts KachelX + 1 54466 KachelY 13021 -0.53066148 1.40980780 -30.404663 80.776037
    Unten links KachelX 54465 KachelY + 1 13022 -0.53070942 1.40980011 -30.407410 80.775596
    Unten rechts KachelX + 1 54466 KachelY + 1 13022 -0.53066148 1.40980011 -30.404663 80.775596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40980780-1.40980011) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40980780-1.40980011) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53070942--0.53066148) × cos(1.40980780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160294029235884 × 6371000     		do = 48.9579224969194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53070942--0.53066148) × cos(1.40980011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160301619794144 × 6371000     		du = 48.960240848793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40980780)-sin(1.40980011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160294029235884-0.160301619794144)×R²
    abs(-0.53066148--0.53070942)×7.59055825999555e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59055825999555e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59055825999555e-06×40589641000000     		ar = 2398.65179881643m²