Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54463 / 14785
↖ ↑ ↗
← N 79.966111°
W 30.412903°		 ← 53.21 m → N 79.966111°
W 30.410156°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.965633°
W 30.412903°		 ← 53.22 m →
2 831 m²		 N 79.965633°
W 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415523529052734 y=0.112804412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415523529052734 × 217)
    floor (0.415523529052734 × 131072)
    floor (54463.5)     		tx = 54463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112804412841797 × 217)
    floor (0.112804412841797 × 131072)
    floor (14785.5)     		ty = 14785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54463 / 14785 ti = "17/54463/14785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54463/14785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54463 ÷ 217
    54463 ÷ 131072     		x = 0.415519714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14785 ÷ 217
    14785 ÷ 131072     		y = 0.112800598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415519714355469 × 2 - 1) × π
    -0.168960571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.53080529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112800598144531 × 2 - 1) × π
    0.774398803710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43284559261747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53080529} λ = -0.53080529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43284559261747))-π/2
    2×atan(11.3912508633346)-π/2
    2×1.48323412737047-π/2
    2.96646825474094-1.57079632675     		φ = 1.39567193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53080529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.412903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39567193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.966111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54463 KachelY 14785 -0.53080529 1.39567193 -30.412903 79.966111
    Oben rechts KachelX + 1 54464 KachelY 14785 -0.53075735 1.39567193 -30.410156 79.966111
    Unten links KachelX 54463 KachelY + 1 14786 -0.53080529 1.39566358 -30.412903 79.965633
    Unten rechts KachelX + 1 54464 KachelY + 1 14786 -0.53075735 1.39566358 -30.410156 79.965633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39567193-1.39566358) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39567193-1.39566358) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53080529--0.53075735) × cos(1.39567193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174230633071446 × 6371000     		do = 53.2145200364799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53080529--0.53075735) × cos(1.39566358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17423885535106 × 6371000     		du = 53.2170313323155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39567193)-sin(1.39566358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174230633071446-0.17423885535106)×R²
    abs(-0.53075735--0.53080529)×8.22227961391753e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.22227961391753e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.22227961391753e-06×40589641000000     		ar = 2830.96485248143m²