Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54463 / 12983
↖ ↑ ↗
← N 80.792752°
W 30.412903°		 ← 48.87 m → N 80.792752°
W 30.410156°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.792312°
W 30.412903°		 ← 48.87 m →
2 391 m²		 N 80.792312°
W 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415523529052734 y=0.0990562438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415523529052734 × 217)
    floor (0.415523529052734 × 131072)
    floor (54463.5)     		tx = 54463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990562438964844 × 217)
    floor (0.0990562438964844 × 131072)
    floor (12983.5)     		ty = 12983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54463 / 12983 ti = "17/54463/12983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54463/12983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54463 ÷ 217
    54463 ÷ 131072     		x = 0.415519714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12983 ÷ 217
    12983 ÷ 131072     		y = 0.0990524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415519714355469 × 2 - 1) × π
    -0.168960571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.53080529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990524291992188 × 2 - 1) × π
    0.801895141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51922788573281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53080529} λ = -0.53080529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51922788573281))-π/2
    2×atan(12.419004070538)-π/2
    2×1.49044792587614-π/2
    2.98089585175229-1.57079632675     		φ = 1.41009953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53080529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.412903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41009953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.792752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54463 KachelY 12983 -0.53080529 1.41009953 -30.412903 80.792752
    Oben rechts KachelX + 1 54464 KachelY 12983 -0.53075735 1.41009953 -30.410156 80.792752
    Unten links KachelX 54463 KachelY + 1 12984 -0.53080529 1.41009185 -30.412903 80.792312
    Unten rechts KachelX + 1 54464 KachelY + 1 12984 -0.53075735 1.41009185 -30.410156 80.792312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41009953-1.41009185) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41009953-1.41009185) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53080529--0.53075735) × cos(1.41009953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160006064688925 × 6371000     		do = 48.8699707120708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53080529--0.53075735) × cos(1.41009185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160013645735327 × 6371000     		du = 48.872286158778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41009953)-sin(1.41009185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160006064688925-0.160013645735327)×R²
    abs(-0.53075735--0.53080529)×7.58104640175006e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58104640175006e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58104640175006e-06×40589641000000     		ar = 2391.22912726564m²