Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54462 / 50625
↖ ↑ ↗
← S 69.536438°
E119.168701°		 ← 213.54 m → S 69.536438°
E119.174194°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 69.538358°
E119.168701°		 ← 213.52 m →
45 587 m²		 S 69.538358°
E119.174194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831031799316406 y=0.772483825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831031799316406 × 216)
    floor (0.831031799316406 × 65536)
    floor (54462.5)     		tx = 54462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772483825683594 × 216)
    floor (0.772483825683594 × 65536)
    floor (50625.5)     		ty = 50625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54462 / 50625 ti = "16/54462/50625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54462/50625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54462 ÷ 216
    54462 ÷ 65536     		x = 0.831024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50625 ÷ 216
    50625 ÷ 65536     		y = 0.772476196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831024169921875 × 2 - 1) × π
    0.66204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07988620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772476196289062 × 2 - 1) × π
    -0.544952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71201843303069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07988620} λ = 2.07988620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71201843303069))-π/2
    2×atan(0.180501095309545)-π/2
    2×0.178578265134623-π/2
    0.357156530269245-1.57079632675     		φ = -1.21363980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07988620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21363980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.536438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54462 KachelY 50625 2.07988620 -1.21363980 119.168701 -69.536438
    Oben rechts KachelX + 1 54463 KachelY 50625 2.07998207 -1.21363980 119.174194 -69.536438
    Unten links KachelX 54462 KachelY + 1 50626 2.07988620 -1.21367331 119.168701 -69.538358
    Unten rechts KachelX + 1 54463 KachelY + 1 50626 2.07998207 -1.21367331 119.174194 -69.538358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21363980--1.21367331) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21363980--1.21367331) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07988620-2.07998207) × cos(-1.21363980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349611615192842 × 6371000     		do = 213.538498809729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07988620-2.07998207) × cos(-1.21367331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		du = 213.519322798846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21363980)-sin(-1.21367331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349611615192842-0.349580219654449)×R²
    abs(2.07998207-2.07988620)×3.13955383928199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13955383928199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13955383928199e-05×40589641000000     		ar = 45586.7590706879m²