Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54459 / 12986
↖ ↑ ↗
← N 80.791433°
W 30.423889°		 ← 48.88 m → N 80.791433°
W 30.421143°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.790993°
W 30.423889°		 ← 48.88 m →
2 388 m²		 N 80.790993°
W 30.421143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415493011474609 y=0.0990791320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415493011474609 × 217)
    floor (0.415493011474609 × 131072)
    floor (54459.5)     		tx = 54459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990791320800781 × 217)
    floor (0.0990791320800781 × 131072)
    floor (12986.5)     		ty = 12986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54459 / 12986 ti = "17/54459/12986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54459/12986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54459 ÷ 217
    54459 ÷ 131072     		x = 0.415489196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12986 ÷ 217
    12986 ÷ 131072     		y = 0.0990753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415489196777344 × 2 - 1) × π
    -0.169021606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.53099704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990753173828125 × 2 - 1) × π
    0.801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53099704} λ = -0.53099704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51908407503395))-π/2
    2×atan(12.4172182132992)-π/2
    2×1.49043641976712-π/2
    2.98087283953424-1.57079632675     		φ = 1.41007651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53099704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.423889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41007651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.791433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54459 KachelY 12986 -0.53099704 1.41007651 -30.423889 80.791433
    Oben rechts KachelX + 1 54460 KachelY 12986 -0.53094910 1.41007651 -30.421143 80.791433
    Unten links KachelX 54459 KachelY + 1 12987 -0.53099704 1.41006884 -30.423889 80.790993
    Unten rechts KachelX + 1 54460 KachelY + 1 12987 -0.53094910 1.41006884 -30.421143 80.790993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41007651-1.41006884) × R
    7.66999999979312e-06 × 6371000     		dl = 48.865569998682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41007651-1.41006884) × R
    7.66999999979312e-06 × 6371000     		dr = 48.865569998682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53099704--0.53094910) × cos(1.41007651) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		do = 48.8769110138672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53099704--0.53094910) × cos(1.41006884) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160036359204568 × 6371000     		du = 48.8792234370422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41007651)-sin(1.41006884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160028788057569-0.160036359204568)×R²
    abs(-0.53094910--0.53099704)×7.57114699945216e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.57114699945216e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.57114699945216e-06×40589641000000     		ar = 2388.45461550671m²