Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54457 / 12989
↖ ↑ ↗
← N 80.790114°
W 30.429382°		 ← 48.88 m → N 80.790114°
W 30.426636°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.789674°
W 30.429382°		 ← 48.89 m →
2 392 m²		 N 80.789674°
W 30.426636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415477752685547 y=0.0991020202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415477752685547 × 217)
    floor (0.415477752685547 × 131072)
    floor (54457.5)     		tx = 54457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991020202636719 × 217)
    floor (0.0991020202636719 × 131072)
    floor (12989.5)     		ty = 12989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54457 / 12989 ti = "17/54457/12989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54457/12989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54457 ÷ 217
    54457 ÷ 131072     		x = 0.415473937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12989 ÷ 217
    12989 ÷ 131072     		y = 0.0990982055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415473937988281 × 2 - 1) × π
    -0.169052124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53109291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990982055664062 × 2 - 1) × π
    0.801803588867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.51894026433509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53109291} λ = -0.53109291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51894026433509))-π/2
    2×atan(12.4154326128674)-π/2
    2×1.49042491202461-π/2
    2.98084982404922-1.57079632675     		φ = 1.41005350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53109291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.429382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41005350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.790114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54457 KachelY 12989 -0.53109291 1.41005350 -30.429382 80.790114
    Oben rechts KachelX + 1 54458 KachelY 12989 -0.53104497 1.41005350 -30.426636 80.790114
    Unten links KachelX 54457 KachelY + 1 12990 -0.53109291 1.41004582 -30.429382 80.789674
    Unten rechts KachelX + 1 54458 KachelY + 1 12990 -0.53104497 1.41004582 -30.426636 80.789674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41005350-1.41004582) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41005350-1.41004582) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53109291--0.53104497) × cos(1.41005350) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160051501470323 × 6371000     		do = 48.8838482747656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53109291--0.53104497) × cos(1.41004582) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160059082460151 × 6371000     		du = 48.8861637041939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41005350)-sin(1.41004582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160051501470323-0.160059082460151)×R²
    abs(-0.53104497--0.53109291)×7.58098982858724e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.58098982858724e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.58098982858724e-06×40589641000000     		ar = 2391.90814586721m²