Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54456 / 12981
↖ ↑ ↗
← N 80.793630°
W 30.432129°		 ← 48.87 m → N 80.793630°
W 30.429382°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.793191°
W 30.432129°		 ← 48.87 m →
2 385 m²		 N 80.793191°
W 30.429382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415470123291016 y=0.0990409851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415470123291016 × 217)
    floor (0.415470123291016 × 131072)
    floor (54456.5)     		tx = 54456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990409851074219 × 217)
    floor (0.0990409851074219 × 131072)
    floor (12981.5)     		ty = 12981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54456 / 12981 ti = "17/54456/12981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54456/12981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54456 ÷ 217
    54456 ÷ 131072     		x = 0.41546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12981 ÷ 217
    12981 ÷ 131072     		y = 0.0990371704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.1690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53114085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990371704101562 × 2 - 1) × π
    0.801925659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.51932375953205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53114085} λ = -0.53114085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51932375953205))-π/2
    2×atan(12.4201947847192)-π/2
    2×1.49045559570811-π/2
    2.98091119141621-1.57079632675     		φ = 1.41011486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53114085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.432129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41011486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.793630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54456 KachelY 12981 -0.53114085 1.41011486 -30.432129 80.793630
    Oben rechts KachelX + 1 54457 KachelY 12981 -0.53109291 1.41011486 -30.429382 80.793630
    Unten links KachelX 54456 KachelY + 1 12982 -0.53114085 1.41010720 -30.432129 80.793191
    Unten rechts KachelX + 1 54457 KachelY + 1 12982 -0.53109291 1.41010720 -30.429382 80.793191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41011486-1.41010720) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41011486-1.41010720) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53114085--0.53109291) × cos(1.41011486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159990932181364 × 6371000     		do = 48.865348854751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53114085--0.53109291) × cos(1.41010720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159998493504259 × 6371000     		du = 48.8676582773914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41011486)-sin(1.41010720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159990932181364-0.159998493504259)×R²
    abs(-0.53109291--0.53114085)×7.56132289428391e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56132289428391e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56132289428391e-06×40589641000000     		ar = 2384.77626562869m²