Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54455 / 15318
↖ ↑ ↗
← N 79.707815°
W 30.434875°		 ← 54.56 m → N 79.707815°
W 30.432129°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
N 79.707324°
W 30.434875°		 ← 54.56 m →
2 975 m²		 N 79.707324°
W 30.432129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415462493896484 y=0.116870880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415462493896484 × 217)
    floor (0.415462493896484 × 131072)
    floor (54455.5)     		tx = 54455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116870880126953 × 217)
    floor (0.116870880126953 × 131072)
    floor (15318.5)     		ty = 15318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54455 / 15318 ti = "17/54455/15318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54455/15318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54455 ÷ 217
    54455 ÷ 131072     		x = 0.415458679199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15318 ÷ 217
    15318 ÷ 131072     		y = 0.116867065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415458679199219 × 2 - 1) × π
    -0.169082641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.53118878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116867065429688 × 2 - 1) × π
    0.766265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40729522511998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53118878} λ = -0.53118878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40729522511998))-π/2
    2×atan(11.103886976907)-π/2
    2×1.48098006982468-π/2
    2.96196013964935-1.57079632675     		φ = 1.39116381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53118878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.434875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39116381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.707815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54455 KachelY 15318 -0.53118878 1.39116381 -30.434875 79.707815
    Oben rechts KachelX + 1 54456 KachelY 15318 -0.53114085 1.39116381 -30.432129 79.707815
    Unten links KachelX 54455 KachelY + 1 15319 -0.53118878 1.39115525 -30.434875 79.707324
    Unten rechts KachelX + 1 54456 KachelY + 1 15319 -0.53114085 1.39115525 -30.432129 79.707324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39116381-1.39115525) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39116381-1.39115525) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53118878--0.53114085) × cos(1.39116381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178668015311989 × 6371000     		do = 54.5584278517734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53118878--0.53114085) × cos(1.39115525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17867643757005 × 6371000     		du = 54.5609996895921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39116381)-sin(1.39115525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178668015311989-0.17867643757005)×R²
    abs(-0.53114085--0.53118878)×8.42225806110819e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.42225806110819e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.42225806110819e-06×40589641000000     		ar = 2975.45545589873m²