Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54454 / 12980
↖ ↑ ↗
← N 80.794070°
W 30.437622°		 ← 48.86 m → N 80.794070°
W 30.434875°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.793630°
W 30.437622°		 ← 48.87 m →
2 388 m²		 N 80.793630°
W 30.434875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415454864501953 y=0.0990333557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415454864501953 × 217)
    floor (0.415454864501953 × 131072)
    floor (54454.5)     		tx = 54454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990333557128906 × 217)
    floor (0.0990333557128906 × 131072)
    floor (12980.5)     		ty = 12980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54454 / 12980 ti = "17/54454/12980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54454/12980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54454 ÷ 217
    54454 ÷ 131072     		x = 0.415451049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12980 ÷ 217
    12980 ÷ 131072     		y = 0.099029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415451049804688 × 2 - 1) × π
    -0.169097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53123672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099029541015625 × 2 - 1) × π
    0.80194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51937169643167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53123672} λ = -0.53123672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51937169643167))-π/2
    2×atan(12.4207901846206)-π/2
    2×1.4904594303519-π/2
    2.98091886070379-1.57079632675     		φ = 1.41012253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53123672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.437622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41012253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.794070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54454 KachelY 12980 -0.53123672 1.41012253 -30.437622 80.794070
    Oben rechts KachelX + 1 54455 KachelY 12980 -0.53118878 1.41012253 -30.434875 80.794070
    Unten links KachelX 54454 KachelY + 1 12981 -0.53123672 1.41011486 -30.437622 80.793630
    Unten rechts KachelX + 1 54455 KachelY + 1 12981 -0.53118878 1.41011486 -30.434875 80.793630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41012253-1.41011486) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41012253-1.41011486) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53123672--0.53118878) × cos(1.41012253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159983360977886 × 6371000     		do = 48.8630364143258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53123672--0.53118878) × cos(1.41011486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159990932181364 × 6371000     		du = 48.865348854751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41012253)-sin(1.41011486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159983360977886-0.159990932181364)×R²
    abs(-0.53118878--0.53123672)×7.57120347891216e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57120347891216e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57120347891216e-06×40589641000000     		ar = 2387.77662587833m²