Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54452 / 15284
↖ ↑ ↗
← N 79.724486°
W 30.443115°		 ← 54.48 m → N 79.724486°
W 30.440369°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.723996°
W 30.443115°		 ← 54.48 m →
2 968 m²		 N 79.723996°
W 30.440369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415439605712891 y=0.116611480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415439605712891 × 217)
    floor (0.415439605712891 × 131072)
    floor (54452.5)     		tx = 54452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116611480712891 × 217)
    floor (0.116611480712891 × 131072)
    floor (15284.5)     		ty = 15284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54452 / 15284 ti = "17/54452/15284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54452/15284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54452 ÷ 217
    54452 ÷ 131072     		x = 0.415435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15284 ÷ 217
    15284 ÷ 131072     		y = 0.116607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.16912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53133260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116607666015625 × 2 - 1) × π
    0.76678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40892507970706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53133260} λ = -0.53133260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40892507970706))-π/2
    2×atan(11.1219994543735)-π/2
    2×1.48112555457951-π/2
    2.96225110915902-1.57079632675     		φ = 1.39145478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53133260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.443115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39145478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.724486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54452 KachelY 15284 -0.53133260 1.39145478 -30.443115 79.724486
    Oben rechts KachelX + 1 54453 KachelY 15284 -0.53128466 1.39145478 -30.440369 79.724486
    Unten links KachelX 54452 KachelY + 1 15285 -0.53133260 1.39144623 -30.443115 79.723996
    Unten rechts KachelX + 1 54453 KachelY + 1 15285 -0.53128466 1.39144623 -30.440369 79.723996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39145478-1.39144623) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39145478-1.39144623) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53133260--0.53128466) × cos(1.39145478) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178381719629713 × 6371000     		do = 54.4823687204681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53133260--0.53128466) × cos(1.39144623) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178390132492839 × 6371000     		du = 54.4849382254138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39145478)-sin(1.39144623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178381719629713-0.178390132492839)×R²
    abs(-0.53128466--0.53133260)×8.41286312577849e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.41286312577849e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.41286312577849e-06×40589641000000     		ar = 2967.83629608408m²