Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54450 / 15258
↖ ↑ ↗
← N 79.737217°
W 30.448608°		 ← 54.42 m → N 79.737217°
W 30.445862°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.736728°
W 30.448608°		 ← 54.42 m →
2 961 m²		 N 79.736728°
W 30.445862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415424346923828 y=0.116413116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415424346923828 × 217)
    floor (0.415424346923828 × 131072)
    floor (54450.5)     		tx = 54450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116413116455078 × 217)
    floor (0.116413116455078 × 131072)
    floor (15258.5)     		ty = 15258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54450 / 15258 ti = "17/54450/15258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54450/15258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54450 ÷ 217
    54450 ÷ 131072     		x = 0.415420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15258 ÷ 217
    15258 ÷ 131072     		y = 0.116409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415420532226562 × 2 - 1) × π
    -0.169158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53142847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116409301757812 × 2 - 1) × π
    0.767181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41017143909718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53142847} λ = -0.53142847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41017143909718))-π/2
    2×atan(11.1358701049426)-π/2
    2×1.48123665030666-π/2
    2.96247330061332-1.57079632675     		φ = 1.39167697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53142847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.448608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39167697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.737217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54450 KachelY 15258 -0.53142847 1.39167697 -30.448608 79.737217
    Oben rechts KachelX + 1 54451 KachelY 15258 -0.53138053 1.39167697 -30.445862 79.737217
    Unten links KachelX 54450 KachelY + 1 15259 -0.53142847 1.39166843 -30.448608 79.736728
    Unten rechts KachelX + 1 54451 KachelY + 1 15259 -0.53138053 1.39166843 -30.445862 79.736728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39167697-1.39166843) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39167697-1.39166843) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53142847--0.53138053) × cos(1.39167697) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178163088853258 × 6371000     		do = 54.4155932537823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53142847--0.53138053) × cos(1.39166843) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178171492215065 × 6371000     		du = 54.4181598567809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39167697)-sin(1.39166843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178163088853258-0.178171492215065)×R²
    abs(-0.53138053--0.53142847)×8.40336180776835e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.40336180776835e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.40336180776835e-06×40589641000000     		ar = 2960.73192138627m²