Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5445 / 7491
↖ ↑ ↗
← N 69.399649°
W120.179443°		 ← 429.83 m → N 69.399649°
W120.168457°		 →
↑
429.85 m
↓
↑
429.85 m
↓
N 69.395783°
W120.179443°		 ← 429.91 m →
184 780 m²		 N 69.395783°
W120.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166183471679688 y=0.228622436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166183471679688 × 215)
    floor (0.166183471679688 × 32768)
    floor (5445.5)     		tx = 5445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228622436523438 × 215)
    floor (0.228622436523438 × 32768)
    floor (7491.5)     		ty = 7491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5445 / 7491 ti = "15/5445/7491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5445/7491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5445 ÷ 215
    5445 ÷ 32768     		x = 0.166168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7491 ÷ 215
    7491 ÷ 32768     		y = 0.228607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.66766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09752698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228607177734375 × 2 - 1) × π
    0.54278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70521139328464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09752698} λ = -2.09752698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70521139328464))-π/2
    2×atan(5.50254874612695)-π/2
    2×1.39102435030863-π/2
    2.78204870061726-1.57079632675     		φ = 1.21125237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09752698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.179443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21125237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.399649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5445 KachelY 7491 -2.09752698 1.21125237 -120.179443 69.399649
    Oben rechts KachelX + 1 5446 KachelY 7491 -2.09733523 1.21125237 -120.168457 69.399649
    Unten links KachelX 5445 KachelY + 1 7492 -2.09752698 1.21118490 -120.179443 69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 5446 KachelY + 1 7492 -2.09733523 1.21118490 -120.168457 69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21125237-1.21118490) × R
    6.74700000000694e-05 × 6371000     		dl = 429.851370000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21125237-1.21118490) × R
    6.74700000000694e-05 × 6371000     		dr = 429.851370000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09752698--2.09733523) × cos(1.21125237) × R
    0.000191749999999935 × 0.351847387270581 × 6371000     		do = 429.830578299546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09752698--2.09733523) × cos(1.21118490) × R
    0.000191749999999935 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 429.90773091471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21125237)-sin(1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351847387270581-0.351910542261028)×R²
    abs(-2.09733523--2.09752698)×6.31549904477335e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31549904477335e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31549904477335e-05×40589641000000     		ar = 184779.845098295m²