Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54448 / 15312
↖ ↑ ↗
← N 79.710759°
W 30.454101°		 ← 54.54 m → N 79.710759°
W 30.451355°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
N 79.710268°
W 30.454101°		 ← 54.55 m →
2 975 m²		 N 79.710268°
W 30.451355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415409088134766 y=0.116825103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415409088134766 × 217)
    floor (0.415409088134766 × 131072)
    floor (54448.5)     		tx = 54448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116825103759766 × 217)
    floor (0.116825103759766 × 131072)
    floor (15312.5)     		ty = 15312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54448 / 15312 ti = "17/54448/15312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54448/15312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54448 ÷ 217
    54448 ÷ 131072     		x = 0.4154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15312 ÷ 217
    15312 ÷ 131072     		y = 0.1168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53152434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53152434} λ = -0.53152434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4075828465177))-π/2
    2×atan(11.1070811517339)-π/2
    2×1.48100576056108-π/2
    2.96201152112216-1.57079632675     		φ = 1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53152434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.454101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54448 KachelY 15312 -0.53152434 1.39121519 -30.454101 79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 54449 KachelY 15312 -0.53147641 1.39121519 -30.451355 79.710759
    Unten links KachelX 54448 KachelY + 1 15313 -0.53152434 1.39120663 -30.454101 79.710268
    Unten rechts KachelX + 1 54449 KachelY + 1 15313 -0.53147641 1.39120663 -30.451355 79.710268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39121519-1.39120663) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39121519-1.39120663) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53152434--0.53147641) × cos(1.39121519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 54.5429907318884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53152434--0.53147641) × cos(1.39120663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178625884146979 × 6371000     		du = 54.5455625936997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39121519)-sin(1.39120663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178625884146979)×R²
    abs(-0.53147641--0.53152434)×8.42233663231329e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.42233663231329e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.42233663231329e-06×40589641000000     		ar = 2974.61358151555m²