Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54443 / 50214
↖ ↑ ↗
← S 68.732399°
E119.064331°		 ← 221.55 m → S 68.732399°
E119.069824°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 68.734391°
E119.064331°		 ← 221.53 m →
49 089 m²		 S 68.734391°
E119.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830741882324219 y=0.766212463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830741882324219 × 216)
    floor (0.830741882324219 × 65536)
    floor (54443.5)     		tx = 54443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766212463378906 × 216)
    floor (0.766212463378906 × 65536)
    floor (50214.5)     		ty = 50214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54443 / 50214 ti = "16/54443/50214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54443/50214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54443 ÷ 216
    54443 ÷ 65536     		x = 0.830734252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50214 ÷ 216
    50214 ÷ 65536     		y = 0.766204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830734252929688 × 2 - 1) × π
    0.661468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07806460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.53240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.672614301543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07806460} λ = 2.07806460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.672614301543))-π/2
    2×atan(0.187755573778475)-π/2
    2×0.185594832476145-π/2
    0.371189664952289-1.57079632675     		φ = -1.19960666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07806460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.064331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19960666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.732399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54443 KachelY 50214 2.07806460 -1.19960666 119.064331 -68.732399
    Oben rechts KachelX + 1 54444 KachelY 50214 2.07816047 -1.19960666 119.069824 -68.732399
    Unten links KachelX 54443 KachelY + 1 50215 2.07806460 -1.19964144 119.064331 -68.734391
    Unten rechts KachelX + 1 54444 KachelY + 1 50215 2.07816047 -1.19964144 119.069824 -68.734391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19960666--1.19964144) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19960666--1.19964144) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07806460-2.07816047) × cos(-1.19960666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		do = 221.547587510009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07806460-2.07816047) × cos(-1.19964144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362691923110865 × 6371000     		du = 221.527790913892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19960666)-sin(-1.19964144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362724334689959-0.362691923110865)×R²
    abs(2.07816047-2.07806460)×3.24115790938939e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24115790938939e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24115790938939e-05×40589641000000     		ar = 49089.069978253m²