Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54440 / 50216
↖ ↑ ↗
← S 68.736384°
E119.047852°		 ← 221.51 m → S 68.736384°
E119.053345°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 68.738376°
E119.047852°		 ← 221.49 m →
49 066 m²		 S 68.738376°
E119.053345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830696105957031 y=0.766242980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830696105957031 × 216)
    floor (0.830696105957031 × 65536)
    floor (54440.5)     		tx = 54440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766242980957031 × 216)
    floor (0.766242980957031 × 65536)
    floor (50216.5)     		ty = 50216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54440 / 50216 ti = "16/54440/50216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54440/50216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54440 ÷ 216
    54440 ÷ 65536     		x = 0.8306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50216 ÷ 216
    50216 ÷ 65536     		y = 0.7662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8306884765625 × 2 - 1) × π
    0.661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07777698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67280604914148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07777698} λ = 2.07777698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67280604914148))-π/2
    2×atan(0.187719575549499)-π/2
    2×0.18556005982313-π/2
    0.37112011964626-1.57079632675     		φ = -1.19967621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07777698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19967621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.736384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54440 KachelY 50216 2.07777698 -1.19967621 119.047852 -68.736384
    Oben rechts KachelX + 1 54441 KachelY 50216 2.07787285 -1.19967621 119.053345 -68.736384
    Unten links KachelX 54440 KachelY + 1 50217 2.07777698 -1.19971098 119.047852 -68.738376
    Unten rechts KachelX + 1 54441 KachelY + 1 50217 2.07787285 -1.19971098 119.053345 -68.738376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19967621--1.19971098) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dl = 221.519670000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19967621--1.19971098) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dr = 221.519670000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07777698-2.07787285) × cos(-1.19967621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362659520412259 × 6371000     		do = 221.507999741868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07777698-2.07787285) × cos(-1.19971098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362627117275214 × 6371000     		du = 221.488208302052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19967621)-sin(-1.19971098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362659520412259-0.362627117275214)×R²
    abs(2.07787285-2.07777698)×3.24031370448896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24031370448896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24031370448896e-05×40589641000000     		ar = 49066.1869138705m²