Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54438 / 50206
↖ ↑ ↗
← S 68.716453°
E119.036865°		 ← 221.71 m → S 68.716453°
E119.042358°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 68.718447°
E119.036865°		 ← 221.69 m →
49 152 m²		 S 68.718447°
E119.042358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830665588378906 y=0.766090393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830665588378906 × 216)
    floor (0.830665588378906 × 65536)
    floor (54438.5)     		tx = 54438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766090393066406 × 216)
    floor (0.766090393066406 × 65536)
    floor (50206.5)     		ty = 50206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54438 / 50206 ti = "16/54438/50206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54438/50206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54438 ÷ 216
    54438 ÷ 65536     		x = 0.830657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50206 ÷ 216
    50206 ÷ 65536     		y = 0.766082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830657958984375 × 2 - 1) × π
    0.66131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07758523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.53216552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67184731114908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07758523} λ = 2.07758523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67184731114908))-π/2
    2×atan(0.187899635739976)-π/2
    2×0.185733985238052-π/2
    0.371467970476105-1.57079632675     		φ = -1.19932836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07758523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.036865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19932836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.716453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54438 KachelY 50206 2.07758523 -1.19932836 119.036865 -68.716453
    Oben rechts KachelX + 1 54439 KachelY 50206 2.07768110 -1.19932836 119.042358 -68.716453
    Unten links KachelX 54438 KachelY + 1 50207 2.07758523 -1.19936316 119.036865 -68.718447
    Unten rechts KachelX + 1 54439 KachelY + 1 50207 2.07768110 -1.19936316 119.042358 -68.718447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19932836--1.19936316) × R
    3.48000000001125e-05 × 6371000     		dl = 221.710800000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19932836--1.19936316) × R
    3.48000000001125e-05 × 6371000     		dr = 221.710800000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07758523-2.07768110) × cos(-1.19932836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362983667431467 × 6371000     		do = 221.705984776883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07758523-2.07768110) × cos(-1.19936316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362951240728217 × 6371000     		du = 221.686178943116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19932836)-sin(-1.19936316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362983667431467-0.362951240728217)×R²
    abs(2.07768110-2.07758523)×3.24267032501546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24267032501546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24267032501546e-05×40589641000000     		ar = 49152.4156709991m²