Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54435 / 50595
↖ ↑ ↗
← S 69.478746°
E119.020386°		 ← 214.11 m → S 69.478746°
E119.025879°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 69.480672°
E119.020386°		 ← 214.10 m →
45 846 m²		 S 69.480672°
E119.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830619812011719 y=0.772026062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830619812011719 × 216)
    floor (0.830619812011719 × 65536)
    floor (54435.5)     		tx = 54435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772026062011719 × 216)
    floor (0.772026062011719 × 65536)
    floor (50595.5)     		ty = 50595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54435 / 50595 ti = "16/54435/50595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54435/50595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54435 ÷ 216
    54435 ÷ 65536     		x = 0.830612182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50595 ÷ 216
    50595 ÷ 65536     		y = 0.772018432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830612182617188 × 2 - 1) × π
    0.661224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07729761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.544036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70914221905348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07729761} λ = 2.07729761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70914221905348))-π/2
    2×atan(0.181021002406389)-π/2
    2×0.17908172199189-π/2
    0.35816344398378-1.57079632675     		φ = -1.21263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07729761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.020386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.478746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54435 KachelY 50595 2.07729761 -1.21263288 119.020386 -69.478746
    Oben rechts KachelX + 1 54436 KachelY 50595 2.07739348 -1.21263288 119.025879 -69.478746
    Unten links KachelX 54435 KachelY + 1 50596 2.07729761 -1.21266649 119.020386 -69.480672
    Unten rechts KachelX + 1 54436 KachelY + 1 50596 2.07739348 -1.21266649 119.025879 -69.480672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21263288--1.21266649) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21263288--1.21266649) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07729761-2.07739348) × cos(-1.21263288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350554815832575 × 6371000     		do = 214.114594225134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07729761-2.07739348) × cos(-1.21266649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350523338450724 × 6371000     		du = 214.095368225269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21263288)-sin(-1.21266649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350554815832575-0.350523338450724)×R²
    abs(2.07739348-2.07729761)×3.14773818503866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14773818503866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14773818503866e-05×40589641000000     		ar = 45846.1519018188m²