Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54434 / 50212
↖ ↑ ↗
← S 68.728413°
E119.014892°		 ← 221.61 m → S 68.728413°
E119.020386°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 68.730406°
E119.014892°		 ← 221.59 m →
49 103 m²		 S 68.730406°
E119.020386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830604553222656 y=0.766181945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830604553222656 × 216)
    floor (0.830604553222656 × 65536)
    floor (54434.5)     		tx = 54434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766181945800781 × 216)
    floor (0.766181945800781 × 65536)
    floor (50212.5)     		ty = 50212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54434 / 50212 ti = "16/54434/50212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54434/50212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54434 ÷ 216
    54434 ÷ 65536     		x = 0.830596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50212 ÷ 216
    50212 ÷ 65536     		y = 0.76617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830596923828125 × 2 - 1) × π
    0.66119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07720173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67242255394452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07720173} λ = 2.07720173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67242255394452))-π/2
    2×atan(0.187791578910686)-π/2
    2×0.185629611343202-π/2
    0.371259222686404-1.57079632675     		φ = -1.19953710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07720173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.014892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19953710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.728413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54434 KachelY 50212 2.07720173 -1.19953710 119.014892 -68.728413
    Oben rechts KachelX + 1 54435 KachelY 50212 2.07729761 -1.19953710 119.020386 -68.728413
    Unten links KachelX 54434 KachelY + 1 50213 2.07720173 -1.19957188 119.014892 -68.730406
    Unten rechts KachelX + 1 54435 KachelY + 1 50213 2.07729761 -1.19957188 119.020386 -68.730406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19953710--1.19957188) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19953710--1.19957188) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07720173-2.07729761) × cos(-1.19953710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362789156531801 × 6371000     		do = 221.610293195257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07720173-2.07729761) × cos(-1.19957188) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362756745830284 × 6371000     		du = 221.590495070268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19953710)-sin(-1.19957188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362789156531801-0.362756745830284)×R²
    abs(2.07729761-2.07720173)×3.24107015168829e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24107015168829e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24107015168829e-05×40589641000000     		ar = 49102.9643464896m²