Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54431 / 50221
↖ ↑ ↗
← S 68.746342°
E118.998413°		 ← 221.43 m → S 68.746342°
E119.003906°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
S 68.748333°
E118.998413°		 ← 221.41 m →
49 021 m²		 S 68.748333°
E119.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830558776855469 y=0.766319274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830558776855469 × 216)
    floor (0.830558776855469 × 65536)
    floor (54431.5)     		tx = 54431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766319274902344 × 216)
    floor (0.766319274902344 × 65536)
    floor (50221.5)     		ty = 50221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54431 / 50221 ti = "16/54431/50221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54431/50221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54431 ÷ 216
    54431 ÷ 65536     		x = 0.830551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50221 ÷ 216
    50221 ÷ 65536     		y = 0.766311645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830551147460938 × 2 - 1) × π
    0.661102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07691411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766311645507812 × 2 - 1) × π
    -0.532623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67328541813768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07691411} λ = 2.07691411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67328541813768))-π/2
    2×atan(0.18762961017003)-π/2
    2×0.185473155370848-π/2
    0.370946310741696-1.57079632675     		φ = -1.19985002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07691411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.998413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19985002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.746342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54431 KachelY 50221 2.07691411 -1.19985002 118.998413 -68.746342
    Oben rechts KachelX + 1 54432 KachelY 50221 2.07700999 -1.19985002 119.003906 -68.746342
    Unten links KachelX 54431 KachelY + 1 50222 2.07691411 -1.19988477 118.998413 -68.748333
    Unten rechts KachelX + 1 54432 KachelY + 1 50222 2.07700999 -1.19988477 119.003906 -68.748333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19985002--1.19988477) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19985002--1.19988477) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07691411-2.07700999) × cos(-1.19985002) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362497537622825 × 6371000     		do = 221.432157353113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07691411-2.07700999) × cos(-1.19988477) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362465150934627 × 6371000     		du = 221.412373896695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19985002)-sin(-1.19988477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362497537622825-0.362465150934627)×R²
    abs(2.07700999-2.07691411)×3.23866881977719e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.23866881977719e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.23866881977719e-05×40589641000000     		ar = 49021.1735915226m²