Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54425 / 15298
↖ ↑ ↗
← N 79.717625°
W 30.517273°		 ← 54.52 m → N 79.717625°
W 30.514526°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
N 79.717135°
W 30.517273°		 ← 54.52 m →
2 973 m²		 N 79.717135°
W 30.514526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415233612060547 y=0.116718292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415233612060547 × 217)
    floor (0.415233612060547 × 131072)
    floor (54425.5)     		tx = 54425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116718292236328 × 217)
    floor (0.116718292236328 × 131072)
    floor (15298.5)     		ty = 15298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54425 / 15298 ti = "17/54425/15298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54425/15298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54425 ÷ 217
    54425 ÷ 131072     		x = 0.415229797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15298 ÷ 217
    15298 ÷ 131072     		y = 0.116714477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415229797363281 × 2 - 1) × π
    -0.169540405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53262689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116714477539062 × 2 - 1) × π
    0.766571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40825396311238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53262689} λ = -0.53262689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40825396311238))-π/2
    2×atan(11.1145378000737)-π/2
    2×1.48106567734644-π/2
    2.96213135469289-1.57079632675     		φ = 1.39133503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53262689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.517273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39133503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.717625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54425 KachelY 15298 -0.53262689 1.39133503 -30.517273 79.717625
    Oben rechts KachelX + 1 54426 KachelY 15298 -0.53257895 1.39133503 -30.514526 79.717625
    Unten links KachelX 54425 KachelY + 1 15299 -0.53262689 1.39132647 -30.517273 79.717135
    Unten rechts KachelX + 1 54426 KachelY + 1 15299 -0.53257895 1.39132647 -30.514526 79.717135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39133503-1.39132647) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39133503-1.39132647) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53262689--0.53257895) × cos(1.39133503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17849954772354 × 6371000     		do = 54.5183564530918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53262689--0.53257895) × cos(1.39132647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178507970243347 × 6371000     		du = 54.5209289074366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39133503)-sin(1.39132647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17849954772354-0.178507970243347)×R²
    abs(-0.53257895--0.53262689)×8.42251980737174e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42251980737174e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42251980737174e-06×40589641000000     		ar = 2973.27014849487m²