Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54425 / 15285
↖ ↑ ↗
← N 79.723996°
W 30.517273°		 ← 54.48 m → N 79.723996°
W 30.514526°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.723507°
W 30.517273°		 ← 54.49 m →
2 968 m²		 N 79.723507°
W 30.514526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415233612060547 y=0.116619110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415233612060547 × 217)
    floor (0.415233612060547 × 131072)
    floor (54425.5)     		tx = 54425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116619110107422 × 217)
    floor (0.116619110107422 × 131072)
    floor (15285.5)     		ty = 15285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54425 / 15285 ti = "17/54425/15285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54425/15285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54425 ÷ 217
    54425 ÷ 131072     		x = 0.415229797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15285 ÷ 217
    15285 ÷ 131072     		y = 0.116615295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415229797363281 × 2 - 1) × π
    -0.169540405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53262689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116615295410156 × 2 - 1) × π
    0.766769409179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.40887714280744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53262689} λ = -0.53262689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40887714280744))-π/2
    2×atan(11.1214663129807)-π/2
    2×1.48112127894544-π/2
    2.96224255789087-1.57079632675     		φ = 1.39144623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53262689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.517273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39144623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.723996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54425 KachelY 15285 -0.53262689 1.39144623 -30.517273 79.723996
    Oben rechts KachelX + 1 54426 KachelY 15285 -0.53257895 1.39144623 -30.514526 79.723996
    Unten links KachelX 54425 KachelY + 1 15286 -0.53262689 1.39143768 -30.517273 79.723507
    Unten rechts KachelX + 1 54426 KachelY + 1 15286 -0.53257895 1.39143768 -30.514526 79.723507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39144623-1.39143768) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39144623-1.39143768) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53262689--0.53257895) × cos(1.39144623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178390132492839 × 6371000     		do = 54.4849382252876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53262689--0.53257895) × cos(1.39143768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178398545342924 × 6371000     		du = 54.4875077262503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39144623)-sin(1.39143768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178390132492839-0.178398545342924)×R²
    abs(-0.53257895--0.53262689)×8.41285008498782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41285008498782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41285008498782e-06×40589641000000     		ar = 2967.97626235258m²