Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54424 / 15286
↖ ↑ ↗
← N 79.723507°
W 30.520020°		 ← 54.49 m → N 79.723507°
W 30.517273°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.723017°
W 30.520020°		 ← 54.49 m →
2 968 m²		 N 79.723017°
W 30.517273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415225982666016 y=0.116626739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415225982666016 × 217)
    floor (0.415225982666016 × 131072)
    floor (54424.5)     		tx = 54424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116626739501953 × 217)
    floor (0.116626739501953 × 131072)
    floor (15286.5)     		ty = 15286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54424 / 15286 ti = "17/54424/15286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54424/15286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54424 ÷ 217
    54424 ÷ 131072     		x = 0.41522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15286 ÷ 217
    15286 ÷ 131072     		y = 0.116622924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.1695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53267483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116622924804688 × 2 - 1) × π
    0.766754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40882920590782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53267483} λ = -0.53267483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40882920590782))-π/2
    2×atan(11.1209331971445)-π/2
    2×1.48111700310968-π/2
    2.96223400621937-1.57079632675     		φ = 1.39143768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53267483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.520020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39143768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.723507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54424 KachelY 15286 -0.53267483 1.39143768 -30.520020 79.723507
    Oben rechts KachelX + 1 54425 KachelY 15286 -0.53262689 1.39143768 -30.517273 79.723507
    Unten links KachelX 54424 KachelY + 1 15287 -0.53267483 1.39142913 -30.520020 79.723017
    Unten rechts KachelX + 1 54425 KachelY + 1 15287 -0.53262689 1.39142913 -30.517273 79.723017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39143768-1.39142913) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39143768-1.39142913) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53267483--0.53262689) × cos(1.39143768) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178398545342924 × 6371000     		do = 54.4875077263765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53267483--0.53262689) × cos(1.39142913) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178406958179967 × 6371000     		du = 54.4900772233561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39143768)-sin(1.39142913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178398545342924-0.178406958179967)×R²
    abs(-0.53262689--0.53267483)×8.41283704361429e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.41283704361429e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.41283704361429e-06×40589641000000     		ar = 2968.11622798673m²