Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54423 / 21147
↖ ↑ ↗
← N 53.660916°
E118.954468°		 ← 361.97 m → N 53.660916°
E118.959961°		 →
↑
362 m
↓
↑
362 m
↓
N 53.657661°
E118.954468°		 ← 362 m →
131 038 m²		 N 53.657661°
E118.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830436706542969 y=0.322685241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830436706542969 × 216)
    floor (0.830436706542969 × 65536)
    floor (54423.5)     		tx = 54423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322685241699219 × 216)
    floor (0.322685241699219 × 65536)
    floor (21147.5)     		ty = 21147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54423 / 21147 ti = "16/54423/21147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54423/21147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54423 ÷ 216
    54423 ÷ 65536     		x = 0.830429077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21147 ÷ 216
    21147 ÷ 65536     		y = 0.322677612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830429077148438 × 2 - 1) × π
    0.660858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07614712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322677612304688 × 2 - 1) × π
    0.354644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11414942096935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07614712} λ = 2.07614712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11414942096935))-π/2
    2×atan(3.04697538328215)-π/2
    2×1.25367799696986-π/2
    2.50735599393972-1.57079632675     		φ = 0.93655967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07614712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93655967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.660916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54423 KachelY 21147 2.07614712 0.93655967 118.954468 53.660916
    Oben rechts KachelX + 1 54424 KachelY 21147 2.07624300 0.93655967 118.959961 53.660916
    Unten links KachelX 54423 KachelY + 1 21148 2.07614712 0.93650285 118.954468 53.657661
    Unten rechts KachelX + 1 54424 KachelY + 1 21148 2.07624300 0.93650285 118.959961 53.657661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93655967-0.93650285) × R
    5.68199999999575e-05 × 6371000     		dl = 362.000219999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93655967-0.93650285) × R
    5.68199999999575e-05 × 6371000     		dr = 362.000219999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07614712-2.07624300) × cos(0.93655967) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.592562795586231 × 6371000     		do = 361.96786067655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07614712-2.07624300) × cos(0.93650285) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.592608564518106 × 6371000     		du = 361.995818696323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93655967)-sin(0.93650285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592562795586231-0.592608564518106)×R²
    abs(2.07624300-2.07614712)×4.57689318746901e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.57689318746901e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.57689318746901e-05×40589641000000     		ar = 131037.505638044m²