Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54423 / 15287
↖ ↑ ↗
← N 79.723017°
W 30.522766°		 ← 54.49 m → N 79.723017°
W 30.520020°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
N 79.722526°
W 30.522766°		 ← 54.49 m →
2 972 m²		 N 79.722526°
W 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415218353271484 y=0.116634368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415218353271484 × 217)
    floor (0.415218353271484 × 131072)
    floor (54423.5)     		tx = 54423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116634368896484 × 217)
    floor (0.116634368896484 × 131072)
    floor (15287.5)     		ty = 15287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54423 / 15287 ti = "17/54423/15287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54423/15287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54423 ÷ 217
    54423 ÷ 131072     		x = 0.415214538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15287 ÷ 217
    15287 ÷ 131072     		y = 0.116630554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415214538574219 × 2 - 1) × π
    -0.169570922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.53272277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116630554199219 × 2 - 1) × π
    0.766738891601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.4087812690082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53272277} λ = -0.53272277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4087812690082))-π/2
    2×atan(11.1204001068636)-π/2
    2×1.48111272707225-π/2
    2.96222545414449-1.57079632675     		φ = 1.39142913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53272277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.522766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39142913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.723017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54423 KachelY 15287 -0.53272277 1.39142913 -30.522766 79.723017
    Oben rechts KachelX + 1 54424 KachelY 15287 -0.53267483 1.39142913 -30.520020 79.723017
    Unten links KachelX 54423 KachelY + 1 15288 -0.53272277 1.39142057 -30.522766 79.722526
    Unten rechts KachelX + 1 54424 KachelY + 1 15288 -0.53267483 1.39142057 -30.520020 79.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39142913-1.39142057) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39142913-1.39142057) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53272277--0.53267483) × cos(1.39142913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178406958179967 × 6371000     		do = 54.4900772232299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53272277--0.53267483) × cos(1.39142057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178415380843522 × 6371000     		du = 54.4926497214787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39142913)-sin(1.39142057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178406958179967-0.178415380843522)×R²
    abs(-0.53267483--0.53272277)×8.42266355413623e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42266355413623e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42266355413623e-06×40589641000000     		ar = 2971.72792056853m²