Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54422 / 15358
↖ ↑ ↗
← N 79.688168°
W 30.525513°		 ← 54.66 m → N 79.688168°
W 30.522766°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
N 79.687676°
W 30.525513°		 ← 54.66 m →
2 988 m²		 N 79.687676°
W 30.522766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415210723876953 y=0.117176055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415210723876953 × 217)
    floor (0.415210723876953 × 131072)
    floor (54422.5)     		tx = 54422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117176055908203 × 217)
    floor (0.117176055908203 × 131072)
    floor (15358.5)     		ty = 15358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54422 / 15358 ti = "17/54422/15358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54422/15358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54422 ÷ 217
    54422 ÷ 131072     		x = 0.415206909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15358 ÷ 217
    15358 ÷ 131072     		y = 0.117172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.169586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53277070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117172241210938 × 2 - 1) × π
    0.765655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40537774913518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53277070} λ = -0.53277070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40537774913518))-π/2
    2×atan(11.0826159401592)-π/2
    2×1.48080861232948-π/2
    2.96161722465895-1.57079632675     		φ = 1.39082090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53277070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.525513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39082090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.688168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54422 KachelY 15358 -0.53277070 1.39082090 -30.525513 79.688168
    Oben rechts KachelX + 1 54423 KachelY 15358 -0.53272277 1.39082090 -30.522766 79.688168
    Unten links KachelX 54422 KachelY + 1 15359 -0.53277070 1.39081232 -30.525513 79.687676
    Unten rechts KachelX + 1 54423 KachelY + 1 15359 -0.53272277 1.39081232 -30.522766 79.687676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39082090-1.39081232) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39082090-1.39081232) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53277070--0.53272277) × cos(1.39082090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179005397178921 × 6371000     		do = 54.6614514635451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53277070--0.53272277) × cos(1.39081232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17901383858896 × 6371000     		du = 54.6640291496507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39082090)-sin(1.39081232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179005397178921-0.17901383858896)×R²
    abs(-0.53272277--0.53277070)×8.44141003888965e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.44141003888965e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.44141003888965e-06×40589641000000     		ar = 2988.03921277928m²