Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54421 / 50189
↖ ↑ ↗
← S 68.682531°
E118.943481°		 ← 222.07 m → S 68.682531°
E118.948975°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 68.684527°
E118.943481°		 ← 222.05 m →
49 303 m²		 S 68.684527°
E118.948975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830406188964844 y=0.765830993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830406188964844 × 216)
    floor (0.830406188964844 × 65536)
    floor (54421.5)     		tx = 54421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765830993652344 × 216)
    floor (0.765830993652344 × 65536)
    floor (50189.5)     		ty = 50189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54421 / 50189 ti = "16/54421/50189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54421/50189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54421 ÷ 216
    54421 ÷ 65536     		x = 0.830398559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50189 ÷ 216
    50189 ÷ 65536     		y = 0.765823364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830398559570312 × 2 - 1) × π
    0.660797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07595537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765823364257812 × 2 - 1) × π
    -0.531646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.670217456562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07595537} λ = 2.07595537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.670217456562))-π/2
    2×atan(0.188206134529577)-π/2
    2×0.18603001525346-π/2
    0.37206003050692-1.57079632675     		φ = -1.19873630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07595537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.943481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19873630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.682531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54421 KachelY 50189 2.07595537 -1.19873630 118.943481 -68.682531
    Oben rechts KachelX + 1 54422 KachelY 50189 2.07605125 -1.19873630 118.948975 -68.682531
    Unten links KachelX 54421 KachelY + 1 50190 2.07595537 -1.19877115 118.943481 -68.684527
    Unten rechts KachelX + 1 54422 KachelY + 1 50190 2.07605125 -1.19877115 118.948975 -68.684527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19873630--1.19877115) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19873630--1.19877115) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07595537-2.07605125) × cos(-1.19873630) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363535282624788 × 6371000     		do = 222.066065423424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07595537-2.07605125) × cos(-1.19877115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363502816826034 × 6371000     		du = 222.046233642206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19873630)-sin(-1.19877115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363535282624788-0.363502816826034)×R²
    abs(2.07605125-2.07595537)×3.24657987534893e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24657987534893e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24657987534893e-05×40589641000000     		ar = 49302.9825494953m²