Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5442 / 3430
↖ ↑ ↗
← N 80.463150°
W120.212402°		 ← 202.40 m → N 80.463150°
W120.201416°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 80.461329°
W120.212402°		 ← 202.44 m →
40 985 m²		 N 80.461329°
W120.201416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166091918945312 y=0.104690551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166091918945312 × 215)
    floor (0.166091918945312 × 32768)
    floor (5442.5)     		tx = 5442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104690551757812 × 215)
    floor (0.104690551757812 × 32768)
    floor (3430.5)     		ty = 3430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5442 / 3430 ti = "15/5442/3430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5442/3430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5442 ÷ 215
    5442 ÷ 32768     		x = 0.16607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3430 ÷ 215
    3430 ÷ 32768     		y = 0.10467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.6678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09810222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10467529296875 × 2 - 1) × π
    0.7906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48389839071283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09810222} λ = -2.09810222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48389839071283))-π/2
    2×atan(11.9879069885667)-π/2
    2×1.4875716112773-π/2
    2.97514322255461-1.57079632675     		φ = 1.40434690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09810222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.212402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40434690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.463150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5442 KachelY 3430 -2.09810222 1.40434690 -120.212402 80.463150
    Oben rechts KachelX + 1 5443 KachelY 3430 -2.09791047 1.40434690 -120.201416 80.463150
    Unten links KachelX 5442 KachelY + 1 3431 -2.09810222 1.40431512 -120.212402 80.461329
    Unten rechts KachelX + 1 5443 KachelY + 1 3431 -2.09791047 1.40431512 -120.201416 80.461329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40434690-1.40431512) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40434690-1.40431512) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09810222--2.09791047) × cos(1.40434690) × R
    0.000191749999999935 × 0.165681899151347 × 6371000     		do = 202.403511017759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09810222--2.09791047) × cos(1.40431512) × R
    0.000191749999999935 × 0.165713239844162 × 6371000     		du = 202.441798038224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40434690)-sin(1.40431512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165681899151347-0.165713239844162)×R²
    abs(-2.09791047--2.09810222)×3.13406928151017e-05×R²
    0.000191749999999935×3.13406928151017e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.13406928151017e-05×40589641000000     		ar = 40984.5917860244m²