Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54418 / 50194
↖ ↑ ↗
← S 68.692513°
E118.927002°		 ← 221.97 m → S 68.692513°
E118.932495°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 68.694509°
E118.927002°		 ← 221.95 m →
49 267 m²		 S 68.694509°
E118.932495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830360412597656 y=0.765907287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830360412597656 × 216)
    floor (0.830360412597656 × 65536)
    floor (54418.5)     		tx = 54418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765907287597656 × 216)
    floor (0.765907287597656 × 65536)
    floor (50194.5)     		ty = 50194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54418 / 50194 ti = "16/54418/50194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54418/50194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54418 ÷ 216
    54418 ÷ 65536     		x = 0.830352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50194 ÷ 216
    50194 ÷ 65536     		y = 0.765899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830352783203125 × 2 - 1) × π
    0.66070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07566775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.53179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6706968255582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07566775} λ = 2.07566775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6706968255582))-π/2
    2×atan(0.188115935964714)-π/2
    2×0.185942900934116-π/2
    0.371885801868233-1.57079632675     		φ = -1.19891052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07566775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.927002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19891052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.692513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54418 KachelY 50194 2.07566775 -1.19891052 118.927002 -68.692513
    Oben rechts KachelX + 1 54419 KachelY 50194 2.07576363 -1.19891052 118.932495 -68.692513
    Unten links KachelX 54418 KachelY + 1 50195 2.07566775 -1.19894536 118.927002 -68.694509
    Unten rechts KachelX + 1 54419 KachelY + 1 50195 2.07576363 -1.19894536 118.932495 -68.694509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19891052--1.19894536) × R
    3.48399999998694e-05 × 6371000     		dl = 221.965639999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19891052--1.19894536) × R
    3.48399999998694e-05 × 6371000     		dr = 221.965639999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07566775-2.07576363) × cos(-1.19891052) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363372977165904 × 6371000     		do = 221.966920893653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07566775-2.07576363) × cos(-1.19894536) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363340518477077 × 6371000     		du = 221.947093455544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19891052)-sin(-1.19894536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363372977165904-0.363340518477077)×R²
    abs(2.07576363-2.07566775)×3.24586888267309e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24586888267309e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24586888267309e-05×40589641000000     		ar = 49266.8291547946m²