Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54418 / 15355
↖ ↑ ↗
← N 79.689642°
W 30.536499°		 ← 54.67 m → N 79.689642°
W 30.533752°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
N 79.689151°
W 30.536499°		 ← 54.67 m →
2 988 m²		 N 79.689151°
W 30.533752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415180206298828 y=0.117153167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415180206298828 × 217)
    floor (0.415180206298828 × 131072)
    floor (54418.5)     		tx = 54418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117153167724609 × 217)
    floor (0.117153167724609 × 131072)
    floor (15355.5)     		ty = 15355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54418 / 15355 ti = "17/54418/15355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54418/15355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54418 ÷ 217
    54418 ÷ 131072     		x = 0.415176391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15355 ÷ 217
    15355 ÷ 131072     		y = 0.117149353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415176391601562 × 2 - 1) × π
    -0.169647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53296245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117149353027344 × 2 - 1) × π
    0.765701293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.40552155983404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53296245} λ = -0.53296245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40552155983404))-π/2
    2×atan(11.0842098535109)-π/2
    2×1.48082148286473-π/2
    2.96164296572945-1.57079632675     		φ = 1.39084664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53296245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.536499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39084664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.689642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54418 KachelY 15355 -0.53296245 1.39084664 -30.536499 79.689642
    Oben rechts KachelX + 1 54419 KachelY 15355 -0.53291451 1.39084664 -30.533752 79.689642
    Unten links KachelX 54418 KachelY + 1 15356 -0.53296245 1.39083806 -30.536499 79.689151
    Unten rechts KachelX + 1 54419 KachelY + 1 15356 -0.53291451 1.39083806 -30.533752 79.689151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39084664-1.39083806) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dl = 54.6631799988133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39084664-1.39083806) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dr = 54.6631799988133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53296245--0.53291451) × cos(1.39084664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178980072869741 × 6371000     		do = 54.6651212014587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53296245--0.53291451) × cos(1.39083806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178988514319311 × 6371000     		du = 54.6676994374403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39084664)-sin(1.39083806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178980072869741-0.178988514319311)×R²
    abs(-0.53291451--0.53296245)×8.44144957001802e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44144957001802e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44144957001802e-06×40589641000000     		ar = 2988.23982711476m²