Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54412 / 50196
↖ ↑ ↗
← S 68.696505°
E118.894043°		 ← 221.90 m → S 68.696505°
E118.899536°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
S 68.698500°
E118.894043°		 ← 221.88 m →
49 239 m²		 S 68.698500°
E118.899536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830268859863281 y=0.765937805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830268859863281 × 216)
    floor (0.830268859863281 × 65536)
    floor (54412.5)     		tx = 54412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765937805175781 × 216)
    floor (0.765937805175781 × 65536)
    floor (50196.5)     		ty = 50196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54412 / 50196 ti = "16/54412/50196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54412/50196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54412 ÷ 216
    54412 ÷ 65536     		x = 0.83026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50196 ÷ 216
    50196 ÷ 65536     		y = 0.76593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83026123046875 × 2 - 1) × π
    0.6605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07509251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.5318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67088857315668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07509251} λ = 2.07509251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67088857315668))-π/2
    2×atan(0.188079868643779)-π/2
    2×0.185908066098271-π/2
    0.371816132196541-1.57079632675     		φ = -1.19898019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07509251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.894043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19898019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.696505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54412 KachelY 50196 2.07509251 -1.19898019 118.894043 -68.696505
    Oben rechts KachelX + 1 54413 KachelY 50196 2.07518838 -1.19898019 118.899536 -68.696505
    Unten links KachelX 54412 KachelY + 1 50197 2.07509251 -1.19901502 118.894043 -68.698500
    Unten rechts KachelX + 1 54413 KachelY + 1 50197 2.07518838 -1.19901502 118.899536 -68.698500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19898019--1.19901502) × R
    3.48300000001522e-05 × 6371000     		dl = 221.90193000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19898019--1.19901502) × R
    3.48300000001522e-05 × 6371000     		dr = 221.90193000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07509251-2.07518838) × cos(-1.19898019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363308068663909 × 6371000     		do = 221.904125082231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07509251-2.07518838) × cos(-1.19901502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363275618410001 × 6371000     		du = 221.884304864011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19898019)-sin(-1.19901502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363308068663909-0.363275618410001)×R²
    abs(2.07518838-2.07509251)×3.24502539078564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24502539078564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24502539078564e-05×40589641000000     		ar = 49238.7545636485m²